Каково соотношение равномерного и нормального распределения?

Пусть следует равномерному распределению, а - нормальному распределению. Что можно сказать о ? Есть ли для этого дистрибутив?Y $X$$Y$$\frac X Y$

Я нашел соотношение двух нормалей со средним нулем Коши.

Пусть случайная величина с pdf f ( x ) :$X \sim \text{Uniform}(a,b)$$f(x)$

где я предположил (это гнездо стандартного случая Uniform ( 0 , 1 ) ). [Различные результаты будут получены, если, скажем, параметр a < 0 , но процедура точно такая же. ]$0<a<b$$\text{Uniform}(0,1)$$a<0$

Далее, пусть и W = 1 / Y с pdf g ( w ) :$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$$W=1/Y$$g(w)$

Затем мы ищем pdf произведения , скажем, h ( v ) , которое определяется как:$V = X*W$$h(v)$

где я использую mathStatica «s TransformProductфункцию для автоматизации сурового gritties, и где Erfобозначает функцию ошибки: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

Все сделано.

Сюжеты

Вот два сюжета PDF:

• График 1: , σ = 1 , b = 3 ... и ... a = 0 , 1 , $\mu = 0$$\sigma = 1$$b = 3$$a = 0, 1, 2$

• Участок 2: ,σ=1,a=0,b=$\mu = {0,\frac12,1}$$\sigma = 1$$a=0$$b = 1$

Монте-Карло чек

Вот краткая проверка Монте-Карло для случая Plot 2, просто чтобы убедиться, что ошибки не возникли:
,σ=1,а=0,b=$\mu = \frac12$$\sigma = 1$$a=0$$b = 1$

Синяя линия - это эмпирический PDF-файл Монте-Карло, а красная пунктирная линия - это теоретический PDF-файл выше. Выглядит хорошо :)$h(v)$

Можно найти распределение из первых принципов, гдеX∼U[0,1]иY∼N(μ,σ2). Рассмотрим кумулятивную функцию вероятностиZ:$Z=\frac{X}{Y}$$X\sim U[0,1]$$Y \sim N(\mu,\sigma^2)$$Z$

$$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$$

Рассмотрим два случая и Y < 0 . Если Y > 0 , то $Y>0$$Y<0$$Y>0$ . Аналогично, если Y < 0, то$\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$$Y<0$ .$\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

$-\infty<Z<\infty$$z>0$$z<0$

$z>0$$(X,Y)$

$$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$$ $f_Y(y)$$Y$

$Z$

$$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$$

Вышеупомянутый интеграл можно оценить, используя следующую последовательность преобразований:

1. $u=\frac{x}{z}$
2. $v=u-\mu$
3. $v$$v$

$$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$$

$\Phi(x)$$z<0$

Этот ответ может быть проверен путем моделирования. Следующий скрипт в R выполняет эту задачу.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Вот несколько графиков для проверки:

1. $Y\sim N(0,1)$
2. $Y\sim N(1,1)$
3. $y\sim N(1,2)$

$z=0$

$Y$$Y=\mathcal N(7,1)$$\min(Y)>1$$N\le1\rm M$$Y<1$$\frac X Y$$Y<0$set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
runif