Всегда ли среднее значение и дисперсия существуют для экспоненциальных распределений семей?

Предположим, что скалярная случайная величина принадлежит семейству вектор-параметров с pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

где ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ - вектор параметров, а $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ - совместная достаточная статистика.

Можно показать, что среднее значение и дисперсия для каждого $T_i(x)$ существуют. Однако всегда ли существует среднее значение и дисперсия для $X$ (т. $E(X)$ и $Var(X)$ )? Если нет, то есть ли пример экспоненциального семейного распределения этой формы, среднее значение и переменная которого не существуют?

Спасибо.

— Вэй
источник

Если , , и получим при условии , производя $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

фигура

Графики показаны для (синим, красным и золотым соответственно). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Очевидно, что абсолютные моменты весов или больше не существуют, потому что подынтегральное выражение , которое асимптотически пропорционально , будет производить сходящийся интеграл в пределах тогда и только тогда, когда . В частности, когда это распределение даже не имеет среднего значения (и, конечно, не является дисперсией). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— Whuber
источник

Я не понимаю условие . Вы имеете в виду ? Когда , не определено, а отрицательно и не может быть в формате PDF. Пожалуйста, дайте мне знать, что я пропустил. Спасибо.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Вэй

Я извиняюсь, потому что знак минус был опущен в расчете . Я заменил его в формулах. Я действительно имею в виду .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

Спасибо за пример. Я согласен с моментами, Как насчет моментов самого ? Например, когда в вашем примере выше, существует ли ?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Вэй

Поскольку интеграл Лебега определяется в терминах положительной и отрицательной частей подынтегрального выражения, моменты существуют тогда и только тогда, когда моментысуществовать.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei: существует, только если . Без этого ограничения ожидание не определено однозначно для некоторых CDF.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Деннис