Конвергенция в распределении \ CLT

Учитывая, что , условный дистр. из есть . имеет маргинальный дистр. Пуассона ( ), - положительная постоянная. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Покажите, что как , в распределении. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Может ли кто-нибудь предложить стратегии для решения этой проблемы. Кажется, нам нужно использовать CLT (Центральная предельная теорема), но сложно получить какую-либо информацию о самостоятельно. Можно ли ввести rv, чтобы взять образец, чтобы сгенерировать ? $Y$ $Y$

Это домашнее задание, поэтому намеки приветствуются.

— user42102
источник

Выглядит как вещь для меня тоже. Может быть, это уже очевидно для вас, но как theta-> Infinity, что происходит с N?

— PeterR

Должен ли я смотреть на распределение N? Если я поиграюсь с этим, похоже, что его pdf всегда будет 0. Что я могу из этого сделать?

— user42102

что означает среднее значение пуассоновской (тета) случайной величины?

— PeterR

Я перепутал N в этом вопросе и размер выборки n в определении CLT. Итак,

. Итак, мы видим, что ожидаемое значение N приближается к бесконечности. Я не уверен, куда идти отсюда, хотя.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

— user42102

Вы должны посмотреть на нецентральное распределение хи-квадрат. Доказать, что лимит нормальный, будет сложнее, чем простое применение CLT, хотя я боюсь.

— Caburke

Ответы:

Я предоставляю решение, основанное на свойствах характеристических функций, которые определяются следующим образом: Мы знаем, что распределение однозначно определяется характеристической функцией, поэтому я докажу, что

ψ_{Икс} (T) знак равно Е ехр (я T Икс),

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

и из этого следует искомая сходимость.

ψ_{(Y - Е Y) / \sqrt{В a р (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (T), когда θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

Для этого мне нужно будет рассчитать среднее значение и дисперсию , для которой я использую закон общих ожиданий / дисперсии - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . $Y$

Е Y знак равно Е {Е (Y | N)} знак равно Е {2 N} знак равно 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

ячто среднее значение и дисперсия распределения Пуассона являются

а среднее и дисперсия

являются

В a р (Y) знак равно Е {В a р (Y | N)} + В a р {Е (Y | N)} знак равно Е {4 N} + В a р (2 N) знак равно 4 θ + 4 В a р (N) знак равно 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

. Теперь приходит исчисление с характерными функциями. Сначала я переписываю определение

как

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y знак равно Σ_{N знак равно 1}^{\infty} Z_{2 N} я_{[N знак равно N]}, где Z_{2 N} ~ χ_{2 N}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Теперь я использую теорему, которая утверждает, что

. Характеристическая функция

равна

, отсюда взято:

ψ_{Y} (T) знак равно Σ_{N знак равно 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 N} (T)} п (N знак равно N)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

$Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (T) знак равно Σ_{N знак равно 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 N} (T)} п (N знак равно N) знак равно Σ_{N знак равно 1}^{\infty} (1 - 2 я T)^{- N} \frac{θ^{N}}{N!} ехр (- θ) знак равно Σ_{N знак равно 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 я T)})}^{N} \frac{1}{N!} ехр (- θ) знак равно ехр (\frac{θ}{1 - 2 я T}) ехр (- θ) знак равно ехр (\frac{2 я T θ}{1 - 2 я T})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - Е Y) / \sqrt{В a р (Y)}} (T) знак равно ехр (- я \frac{Е Y}{\sqrt{В a р Y}}) ψ_{Y} (T / \sqrt{В a р Y}) знак равно ехр (- \frac{T^{2}}{2}) ехр (- 1 + 2 я \frac{T}{\sqrt{8 θ}}) \to ехр (- \frac{T^{2}}{2}) знак равно ψ_{N (0, 1)} (T), когда θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

— Фимба
источник

Это может быть продемонстрировано через связь с нецентральным распределением по Чискуару. Есть хорошая статья в Википедии, на которую я буду ссылаться свободно! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

$Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

$Y$

е_{Y} (Y; 0, θ) знак равно Σ_{я знак равно 0}^{\infty} \frac{е^{- θ} θ^{я}}{я!} е_{{χ^{2}}_{2 я}} (Y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

е_{Y} (Y; К, θ) знак равно Σ_{я знак равно 0}^{\infty} \frac{е^{- θ} θ^{я}}{я!} е_{{χ^{2}}_{2 я + К}} (Y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ стремится к нулю, так что точка массы в нуле исчезает (переменная чисел в квадрате с нулевыми степенями свободы должна интерпретироваться как точка массы в нуле, поэтому не имеют функции плотности).

$k$ $k$ $k$

— Къетил б Халворсен
источник