Есть ли интуитивная характеристика дистанционной корреляции?

Я смотрел на страницу Википедии для корреляции расстояний, где она, кажется, характеризуется тем, как ее можно рассчитать. В то время как я мог делать вычисления, я изо всех сил пытаюсь получить, какие меры корреляции расстояния и почему вычисления выглядят, как они делают.

Есть ли (или многие) более интуитивная характеристика дистанционной корреляции, которая могла бы помочь мне понять, что она измеряет?

Я понимаю, что просьба об интуиции немного расплывчата, но если бы я знал, какую интуицию я просил, я бы, наверное, не спрашивал. Я также был бы рад за интуицию относительно случая корреляции расстояния между двумя случайными переменными (даже если корреляция расстояния определена между двумя случайными векторами).

Этот мой ответ не дает правильного ответа на вопрос. Пожалуйста, прочитайте комментарии.

Давайте сравним обычную ковариацию и ковариацию расстояния . Эффективной частью обоих являются их числители. (Знаменатели просто усредняют.) Числитель ковариации представляет собой суммированное перекрестное произведение (= скалярное произведение) отклонений от одной точки, среднее: (с индексом μ как этот центроид). Чтобы переписать выражение в этом стиле: Σ d x i μ d y i μ , с $\Sigma (x_i-\mu^x)(y_i-\mu^y)$$\mu$$\Sigma d_{i\mu}^x d_{i\mu}^y$$d$обозначает отклонение точки от центроида, то есть ее (подписанное) расстояние до центроида. Ковариация определяется суммой произведений двух расстояний по всем точкам.$i$

Как обстоят дела с дистанционной ковариацией ? Числитель, как вы знаете, . Разве это не очень похоже на то, что мы написали выше? А какая разница? Здесь расстояние d находится между различными точками данных , а не между точкой данных и средним значением, как указано выше. Ковариация расстояния определяется суммой произведений двух расстояний по всем парам точек.$\Sigma d_{ij}^x d_{ij}^y$$d$

Скалярное произведение (между двумя объектами - в нашем случае переменными и y ), основанное на совместном расстоянии от одной фиксированной точки, максимизируется, когда данные располагаются вдоль одной прямой линии . Скалярное произведение, основанное на совместном расстоянии от точки var * i *, максимизируется, когда данные располагаются вдоль прямой линии локально, кусочно; другими словами, когда данные в целом представляют$x$$y$ цепочку любой формы , зависимость любой формы.

И действительно, обычная ковариация больше, когда отношения ближе к идеальным линейным, а дисперсии больше. Если вы стандартизируете отклонения для фиксированной единицы, ковариация зависит только от силы линейной ассоциации, и тогда она называется корреляцией Пирсона . И, как мы знаем - и просто обладаем некоторой интуицией, почему - ковариация расстояния больше, когда отношения ближе к идеальной кривой и разбросам данных больше. Если вы стандартизируете спреды для фиксированной единицы, ковариация зависит только от силы некоторой криволинейной ассоциации, и тогда она называется броуновской (дистанционной) корреляцией .