Распределение отношения зависимых хи-квадрат случайных величин

Предположим, что где независимы. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Мой вопрос, что делает распределение

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

следовать? Отсюда я знаю, что отношение двух хи-квадрат случайных величин, выраженных как соответствует распределению бета-версий. Я думаю , что это предполагает независимость между и . В моем случае, тем не менее, знаменатель содержит компоненты квадрате. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Я думаю, что также должен следовать варианту распределения бета-версии, но я не уверен. И если это предположение верно, я не знаю, как это доказать. $Z$

— x0dros
источник

Поскольку распределение знаменателя является инвариантным относительно поворотов, вы можете повернуть в положение , что сводит ваш вопрос к чему-то знакомому :-).

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

Я уверен, что @whuber означает именно то, что было там напечатано. Когда вы говорите «номинатор», вы имеете в виду «числитель»?

— Glen_b

Когда вы вращаете что-либо, вы (по определению) сохраняете его длину. Следовательно, дисперсия любой повернутой версии должна равняться дисперсии , которая равна : термин .

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber Ваш ответ действительно очень интересный, но у меня есть некоторые сомнения по этому поводу. Когда вы говорите, что я могу повернуть чтобы он стал равен , это в основном означает, что я могу переписать числитель как и, следовательно, сам превращается в . Теперь, если я предполагаю, что и а поскольку и независимы, я могу предположить, что имеет

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$ раздача и пр. Я понял вашу точку зрения до сих пор? Итак, вот мое замешательство. Прежде чем использовать понятие ротационной инвариантности и модифицирования

— 17

@ssah Вы ошибаетесь в своем применении моих рассуждений: без в знаменателе его распределение больше не является инвариантным к произвольным поворотам и поэтому выводы больше не верны.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Этот пост подробно описывает ответы в комментариях к вопросу.

Пусть . Исправьте все длины блока. Такой вектор всегда может быть завершен на ортонормированном базисе (например, с помощью процесса Грамма-Шмидта ). Это изменение базиса (от обычного) является ортогональным: оно не меняет длины. Таким образом, распределение $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

не зависит от . Взятие показывает, что оно имеет такое же распределение, как $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

Поскольку имеют нормальное значение, они могут быть записаны как times iid стандартных нормальных переменных и их квадраты имеют распределение times . Поскольку сумма независимых распределений равна , мы определили, что распределение является распределением $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

где и являются независимыми. Это хорошо известно , что это отношение имеет бета распределение. (Также смотрите тесно связанный поток в Распределении если Beta и хи-квадрат с градусами .) $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

Так как

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

для единичного вектора мы заключаем, что является раз бета варьируются. Поэтому для он имеет функцию плотности $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

на интервале (а в противном случае равен нулю). $(0,n)$

В качестве проверки я смоделировал независимых реализаций для и , их гистограммы и наложил график соответствующей плотности бета (красным цветом). Соглашения отличные. $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Вот Rкод Он выполняет моделирование с помощью формулы sum(x)^2 / sum(x^2)для , где - вектор длины, сгенерированный . Остальное только зацикливание ( , ) и построение графиков ( , ). $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— Whuber
источник