В начале вашего вывода вы умножаете скобки , в процессе расширяя и и . Первое зависит от переменной суммы , а второе - нет. Если вы оставите как есть, деривация будет намного проще, потому что
∑i(xi−x¯)(yi−y¯)yiy¯iy¯
∑i(xi−x¯)y¯=y¯∑i(xi−x¯)=y¯((∑ixi)−nx¯)=y¯(nx¯−nx¯)=0
следовательно
∑i(xi−x¯)(yi−y¯)=∑i(xi−x¯)yi−∑i(xi−x¯)y¯=∑i(xi−x¯)yi=∑i(xi−x¯)(β0+β1xi+ui)
а также
Var(β1^)=Var(∑i(xi−x¯)(yi−y¯)∑i(xi−x¯)2)=Var(∑i(xi−x¯)(β0+β1xi+ui)∑i(xi−x¯)2),substituting in the above=Var(∑i(xi−x¯)ui∑i(xi−x¯)2),noting only ui is a random variable=∑i(xi−x¯)2Var(ui)(∑i(xi−x¯)2)2,independence of ui and, Var(kX)=k2Var(X)=σ2∑i(xi−x¯)2
какой результат вы хотите.
Как примечание, я потратил много времени, пытаясь найти ошибку в вашем выводе. В конце концов я решил, что благоразумие - лучшая часть доблести, и лучше было попробовать более простой подход. Однако, к сведению, я не был уверен, что этот шаг оправдан
потому что он пропускает перекрестные термины из-за .
=.1(∑i(xi−x¯)2)2E⎡⎣(∑i(xi−x¯)(ui−∑jujn))2⎤⎦=1(∑i(xi−x¯)2)2E[∑i(xi−x¯)2(ui−∑jujn)2] , since ui 's are iid
∑jujn