Простые примеры некоррелированных, но не независимых

Любой трудолюбивый студент является контрпримером к тому, что «все студенты ленивы».

Каковы некоторые простые контрпримеры, если «случайные переменные и некоррелированы, то они независимы»?$X$$Y$

Пусть .$X\sim U(-1,1)$

Пусть .$Y=X^2$

Переменные некоррелированы, но зависимы.

В качестве альтернативы рассмотрим дискретное двумерное распределение, состоящее из вероятности в 3 точках (-1,1), (0, -1), (1,1) с вероятностью 1/4, 1/2, 1/4 соответственно. Тогда переменные некоррелированы, но зависимы.

Рассмотрим двумерную форму данных в ромбе (квадрат повернут на 45 градусов). Переменные будут некоррелированными, но зависимыми.

Это о самых простых случаях, которые я могу придумать.

Я думаю, что суть некоторых простых контрпримеров можно увидеть, начав с непрерывной случайной величины центром в нуле, то есть E [ X ] = 0 . Предположим, что pdf файла X четен и определен на отрезке вида ( - a , a ) , где a > 0 . Теперь предположим, что Y = f ( X ) для некоторой функции f . Теперь зададимся вопросом: для каких функций f ( X ) мы можем иметь C $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$ ?$Cov(X,f(X))=0$

Мы знаем, что . Наше предположение, что E [ X ] = 0, приводит нас прямо к C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$ . Обозначая pdf X через p ( ⋅ ) , мы имеем$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

.$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$

Мы хотим , , а один из способов достижения этого является обеспечением ф ( х ) является четной функцией, которая подразумевает й ф ( х ) р ( х ) является нечетной функцией. Отсюда следует , что ∫ - х е ( х ) р ( х ) д х = 0 , и так С о $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ .$Cov(X,f(X))=0$

Таким образом, мы можем видеть , что точное распределение не имеет значения , как вдоль , как PDF симметрично вокруг некоторой точки и любой четной функции F ( ⋅ ) будет делать для определения Y .$X$$f(\cdot)$$Y$

Надеемся, что это может помочь студентам увидеть, как люди придумывают эти типы контрпримеров.

Будь контрпримером (т. Е. Трудолюбивым студентом)! С этим сказал:

Я пытался придумать пример из реального мира, и это было первое, что пришло мне в голову. Это не будет математически простым случаем (но если вы поймете этот пример, вы сможете найти более простой пример с урнами, шарами или чем-то еще).

Согласно некоторым исследованиям, средний IQ мужчин и женщин одинаков, но дисперсия IQ мужчин больше, чем дисперсия IQ женщин. Для конкретности предположим, что мужской IQ следует за а женский IQ следует за N ( 100 , α σ 2 ) с α < 1 . Половина населения - мужчины, а половина - женщины.$N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

Предполагая, что это исследование является правильным:

Каково соотношение пола и IQ?

Является ли пол и IQ независимым?

Мы можем определить дискретную случайную величину с P ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

а затем определить $Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

Легко проверить, что и Y некоррелированы, но не независимы.$X$$Y$

Попробуйте это (код R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

Это из уравнения круга $x^2+y^2-r^2=0$

не коррелирует с x , но является функционально зависимым (детерминированным). $Y$$x$

Единственный общий случай, когда отсутствие корреляции подразумевает независимость, это когда совместное распределение X и Y является гауссовым.

Ответ из двух предложений: наиболее ясным случаем некоррелированной статистической зависимости является нелинейная функция RV, скажем, Y = X ^ n. Эти два RV явно зависимы, но еще не коррелированы, потому что корреляция является линейной зависимостью.