Существует ли сопряженный априор для распределения Лапласа?

Существует ли сопряженный априор для распределения Лапласа ? Если нет, то есть ли известное выражение в замкнутой форме, аппроксимирующее апостериорный для параметров распределения Лапласа?

Я довольно много гуглил, но безуспешно, поэтому мое текущее предположение - «нет» в ответах на вопросы выше ...

Давайте сначала посмотрим на них по очереди (с учетом другого).

Из ссылки (с изменением следующего соглашения об использовании греческих символов для параметров):

$f(x|\mu,\tau) = \frac{1}{2\tau} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{\tau} \right) \,$

- масштабный параметр :

$\cal{L}(\tau) \propto \tau^{-k-1} e^{-\frac{S}{\tau}} \,$

при определенных значениях и S . То есть вероятность имеет форму обратной гаммы.$k$$S$

Таким образом, параметр масштаба имеет предшествующее сопряжение - при проверке предшествующее сопряжение является обратной гаммой.

- параметр местоположения

Это действительно сложнее, потому что не упрощается во что-то удобное в μ ; Я не думаю, что есть какой-то способ «собрать термины» (ну, в некотором роде, но нам это не нужно).$\sum_i|x_i-\mu|$$\mu$

Равномерный априор просто усекает задний, с которым не так уж плохо работать, если это кажется правдоподобным как априор.

Одна интересная возможность, которая иногда может оказаться полезной, заключается в том, что довольно просто включить априор Лапласа (тот же масштаб, что и у данных) с помощью псевдонаблюдения. Можно также приблизиться к некоторому другому (более жесткому) ранее с помощью нескольких псевдонаблюдений)

На самом деле, чтобы обобщить это, если бы я работал с Лапласом, у меня был бы соблазн просто обобщить от постоянной шкалы-постоянного веса до работы с версией Лапласа с взвешенным наблюдением (эквивалентно, потенциально другой масштаб для каждая точка данных) - логарифмическая вероятность все еще является просто непрерывной кусочно-линейной функцией, но наклон может изменяться нецелыми величинами в точках соединения. Тогда существует удобный «сопряженный» априор - просто еще один «взвешенный» Лаплас или, действительно, что-нибудь вида w $\exp(-\sum_j |\mu-\theta_j|/\phi_j)$$\exp(-\sum_j w^*_j|\mu-\theta_j|)$

Он также достаточно гибок, чтобы его можно было использовать для аппроксимации других приоров.

(В более общем смысле можно было бы работать в логарифмическом масштабе и использовать непрерывный, кусочно-линейный лог-вогнутый априор, а задний также имел бы такую ​​форму; это включало бы асимметричный Лаплас в качестве особого случая)

пример

Просто для того, чтобы показать, что с этим довольно легко иметь дело - ниже приведен предварительный (пунктирный серый), правдоподобный (пунктирный, черный) и задний (сплошной, красный) параметр местоположения для взвешенного Лапласа (... это было с известными шкалами ).

Я думаю, что взвешенный подход Лапласа будет хорошо работать в MCMC.

-

Интересно, является ли полученная в результате апостериорная мода взвешенной медианой?

- на самом деле (чтобы ответить на мой собственный вопрос), похоже, что ответ «да». С этим приятно работать.

-

Совместный до

$f(\mu,\tau)=f(\mu|\tau)f(\tau)$$\mu|\tau$$\tau$$\tau$$\tau$

Несомненно, что-то более общее для совместного предварительного вполне возможно, но я не думаю, что я буду продолжать совместное дело дальше, чем здесь.

-

Я никогда раньше не видел и не слышал об этом предварительном подходе с использованием взвешенного круга, но придумать его было довольно просто, так что, вероятно, это уже было сделано. (Ссылки приветствуются, если кто-нибудь знает о них.)

Если никто вообще не знает каких-либо ссылок, возможно, мне стоит что-то написать, но это было бы удивительно.