Почему F-тест в гауссовых линейных моделях является наиболее мощным?

$Y=\mu+\sigma G$ $\mu$ $W$ $G$ $\mathbb{R}^n$ $F$ $H_0\colon\{\mu \in U\}$ $U \subset W$

f = ϕ (2 \log \frac{sup_{μ \in W, σ > 0} L (μ, σ | y)}{sup_{μ \in U, σ > 0} L (μ, σ | y)}) .

$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$ Как мы можем знать, что эта статистика обеспечивает самый мощный тест для (возможно, после отбрасывания необычных частных случаев)? Это не вытекает из теоремы Неймана-Пирсона, потому что эта теорема утверждает, что критерий отношения правдоподобия является наиболее мощным для точечных гипотез

H_{0}

$H_0$

H_{0} : {μ = μ_{0}, σ = σ_{0}}

$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$

H_{1} : {μ = μ_{1}, σ = σ_{1}}

$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$

— Стефан Лоран
источник

Семейства MLR и теорема Карлина-Рубина могут быть уместны здесь.

— whuber

Вы можете переписать

H_{0} : μ \in U

$H_0: \mu\in U$ чтобы он имел форму, похожую на

H_{0} : δ = 0

$H_0:\delta=\mathbf 0$ (в отличие от альтернативы, которая не равна 0). По сути,

δ

$\delta$ будет в соответствующем факторпространстве

W / U

$W/U$

— Glen_b -Восстановить Монику

@Glen_b И тогда вы имеете в виду, что теорема Неймана-Пирсона дает заключение?

— Стефан Лоран

Я далеко не эксперт в этом материале, и, вероятно, будет что-то важное, что я пропустил, но я думаю, что в статье Неймана и Пирсона обсуждаются гипотезы, которые включают неуказанные параметры, отличные от тестируемых; это, наверное, стоит посмотреть.

— Glen_b

Уважаемый @ StéphaneLaurent: Мы не можем этого знать, потому что это неправда.

— кардинал

Я следил за этим вопросом в течение некоторого времени, надеясь, что кто-то, обладающий более глубоким пониманием классической теории испытаний, сможет объяснить, почему этот тест в целом не является наиболее мощным как пишет @cardinal в комментарии. Фольклор состоит в том, что действительно наиболее мощные тесты действительно могут быть построены только для односторонних гипотез об одномерных параметрах, но такой комментарий на самом деле не отвечает на вопрос. $F$ $-$

Пример 5.5 в « Теоретической статистике » Кокса и Хинкли показывает, что тест является однородно наиболее мощным аналогичным тестом для одномерного среднего с неизвестной дисперсией. Со ссылкой на методы в «Анализ дисперсии по Шеффе» в том же примере утверждается, что критерий гипотезы по одному параметру в многомерном случае по-прежнему является однородно наиболее мощным аналогичным тестом с остальными параметрами и дисперсией в качестве параметров помех. Когда коразмерность равна 1, тест эквивалентен тесту. $t$ $t$ $U$ $F$ $t$

Пример 5.20, все еще в Коксе и Хинкли, рассматривает односторонний ANOVA. В нем утверждается, что в случае, по крайней мере, трех групп нет единого наиболее мощного аналогичного критерия гипотезы об отсутствии различий между группами. Это дает ингредиенты для того, чтобы показать, что тест не всегда является наиболее мощным, поскольку для конкретных альтернатив существуют более мощные тесты. Однако тест является наиболее мощным инвариантным тестом. $F$ $t$ $F$

Итак, что же означает подобное и инвариантное ? Вложенная последовательность критических областей для тестов размера называется аналогичной, если вероятность отклонения согласно гипотезе равна (для всех возможных вариантов выбора неприятных параметров). Тест инвариантен, если критические области инвариантны относительно группы преобразований. Для одностороннего ANOVA группа является группой ортогональных преобразований. Я рекомендую прочитать Главу 5 в Кокс и Хинкли для более подробной информации. См. Также раздел 2.10 в книге Шеффе об оптимальных свойствах теста. $\alpha \in [0,1]$ $\alpha$ $F$

— NRH
источник