Имеет ли регрессия Кокса основное распределение Пуассона?

Наша небольшая команда провела дискуссию и застряла. Кто-нибудь знает, имеет ли регрессия Кокса основное распределение Пуассона. У нас была дискуссия о том, что, возможно, регрессия Кокса с постоянным временем риска будет иметь сходство с регрессией Пуассона с устойчивой дисперсией. Любые идеи?

Да, существует связь между этими двумя регрессионными моделями. Вот иллюстрация:

Предположим, что базовая опасность постоянна во времени: . В этом случае функция выживания$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

и функция плотности

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Это PDF экспоненциальной случайной величины с ожиданием .$\lambda^{-1}$

Такая конфигурация дает следующую параметрическую модель Кокса (с очевидными обозначениями):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

В параметрической настройке параметры оцениваются с использованием классического метода правдоподобия. Логарифмическая вероятность определяется

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

$d_{i}$

$d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

Как следствие, можно получить оценки, используя следующую модель Пуассона:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

$\beta_0 = \log(\lambda)$