Я знаю, что линейная алгебра и анализ (особенно теория меры) важны. Полезно ли проходить курсы магистратуры в области реального и комплексного анализа? Должен ли я пройти курсы абстрактной алгебры помимо вводных курсов, например, коммутативной алгебры и алгебраической геометрии?
Ответы:
На мой взгляд, некоторые варианты исследования на уровне выпускника могут быть: функциональный анализ (естественная структура для статистических формулировок), стохастические процессы, стохастическое управление (последовательный анализ - оптимальная остановка), различные разновидности PDE (многие вероятностные проблемы формулируются как параболические и нелинейные PDE). Практически все это требует реального анализа на уровне старшекурсников. Если вы интересуетесь теоретическими вещами, то принятие теории меры также очень важно в качестве предварительного условия для полного рассмотрения этих тем. Комплексный анализ будет иметь некоторое применение, но меньше, чем выше; есть связи с вероятностью (то есть гармонические функции), но это вполне может быть не стоит
Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия не будут очень полезны (одна связь, о которой я могу думать, является алгебраической статистикой, которая широко не преподается). Эти темы также будут очень сложными без прочного знания математики.
Получить реальный анализ, но не так, как я вижу, люди делают это. Когда мы проводим собеседование с учащимися по математике, кажется, что они не справляются с инструментами реального анализа, для большинства из них такие простые вещи, как получение интегралов, недоступны. Я до сих пор не понимаю, почему. Итак, мой совет: обратите внимание на приложения в первую очередь.
Также получите ODE и PDE курс, а также функциональный анализ и дифференциальную геометрию. Линейная алгебра и тензоры, конечно, тоже. Все с упором на приложения.
Что касается коммутативной алгебры и алгебраической геометрии, предметов, которые наименее затрагиваются в других ответах, у меня сложилось впечатление, что, пока вы избегаете алгебраической статистики, вы можете обойтись полностью без них. Однако в будущем избежать алгебраической статистики будет все труднее, поскольку она имеет множество применений и пересечений с машинным / статистическим обучением, что очень заметно в современных исследованиях, а также в других областях. Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия - это предметы, которые вы хотите изучить наиболее конкретно для алгебраической статистики, см., Например, ответы на этот вопрос: алгебраическая геометрия для статистики
Напротив, все подполя статистики используют анализ. (Хотя не такой сложный анализ, хотя он может быть полезен для понимания характерных функций, вопрос, который, кажется, еще не поднимался.) Я думаю, что теория измерения уровня бакалавриата, вероятно, будет достаточной, поскольку я встречался с профессиональными статистиками (например, профессорами). на высших факультетах), которые смотрят свысока на теорию мер, но если вы действительно хотите понять теорию мер, большой курс обучения по реальному анализу очень поможет. Теория мер бакалавриата, как правило, фокусируется исключительно на мере Лебега на реальной линии, которая обладает множеством приятных свойств, которые необязательно могут иметь общие меры, и, кроме того, является бесконечной мерой. Напротив, курс реального анализа на уровне выпускников будет иметь тенденцию уделять больше внимания абстрактным мерам, которые упрощают понимание вероятностных показателей в целом, а также проясняют взаимосвязь между непрерывными и дискретными вероятностными измерениями - иными словами, вы сможете впервые увидеть, как оба субъекта объединяются в одной структуре. Точно так же можно доказать теорему о расширении Колмогорова в таком курсе. И понимание абстрактных мер действительно необходимо для строгого понимания случайных процессов в непрерывном времени. Это даже полезно для понимания случайных процессов в дискретном времени, хотя и менее важно, чем в непрерывном случае. вы сможете увидеть, как оба предмета впервые объединяются в одном сознании. Точно так же можно доказать теорему о расширении Колмогорова в таком курсе. И понимание абстрактных мер действительно необходимо для строгого понимания случайных процессов в непрерывном времени. Это даже полезно для понимания случайных процессов в дискретном времени, хотя и менее важно, чем в непрерывном случае. вы сможете увидеть, как оба предмета впервые объединяются в одном сознании. Точно так же можно доказать теорему о расширении Колмогорова в таком курсе. И понимание абстрактных мер действительно необходимо для строгого понимания случайных процессов в непрерывном времени. Это даже полезно для понимания случайных процессов в дискретном времени, хотя и менее важно, чем в непрерывном случае.