Обращение преобразования Фурье для распределения Фишера

Характерная функция распределения Фишера : где является сливающейся гипергеометрической функцией . Я пытаюсь решить обратное преобразование Фурье из -свертки , чтобы восстановить плотность переменной , то есть: с целью получения распределения суммы $\mathcal{F}(1,\alpha)$

C (t) = \frac{Γ (\frac{α + 1}{2}) U (\frac{1}{2}, 1 - \frac{α}{2}, - i t α)}{Γ (\frac{α}{2})}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

F_{t, x}^{- 1} (C (t)^{n})

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$ Фишер-распределенные случайные величины. Интересно, есть ли у кого-нибудь идеи, которые, кажется, очень трудно решить. Я пробовал значения и безрезультатно. Примечание: для по свертке я получаю pdf среднего значения (не суммы):

α = 3

$\alpha=3$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

\frac{3 (12 ({Икс}^{2} + 3) (5 {Икс}^{2} - 3) {Икс}^{2} + 9 (20 {Икс}^{4} + 27 {Икс}^{2} + 9) журнал (\frac{4 {Икс}^{2}}{3} + 1) + 2 \sqrt{3} ({Икс}^{2} + 15) (4 {Икс}^{2} + 3) {Икс}^{3} {загар}^{- 1} (\frac{2 Икс}{\sqrt{3}}))}{π^{2} {Икс}^{3} {({Икс}^{2} + 3)}^{3} (4 {Икс}^{2} + 3)}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$ ,

где является средним из 2 переменных. Я знаю, что это громоздко, но хотелось бы получить представление о приближении распределения бассейна. $x$

— Нерон
источник

этот вопрос жив?

— Brethlosze

Да, это все еще открыто.

— Неро

Я предполагаю, что вы находитесь под каким-то символическим пакетом, верно?

— Brethlosze

(?) По теме: mathoverflow.net/questions/184367/... jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

— Кьетил б Халворсеном

Для свертки F-статистики не существует плотности в замкнутой форме, поэтому попытка аналитического обращения характеристической функции вряд ли приведет к чему-либо полезному.

В математической статистике наклонное разложение Эджворта (также известное как приближение седловой точки) является известным и часто используемым методом для аппроксимации функции плотности с учетом характеристической функции. Седловая аппроксимация, если часто удивительно точная. Оле Барндорф-Нильсен и Дэвид Кокс написали учебник, объясняющий эту математическую технику.

$aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$

$\alpha$ $n$ $a=n$ $k=\infty$ $\alpha$

— Гордон Смит
источник