Как быстро сэмплировать X, если exp (X) ~ Gamma?

У меня есть простая проблема выборки, где мой внутренний цикл выглядит так:

v = sample_gamma(k, a)

где sample_gammaобразцы из гамма-распределения, чтобы сформировать образец Дирихле.

Это работает хорошо, но для некоторых значений k / a некоторые из последующих вычислений теряются.

Я адаптировал его для использования переменных пространства журнала:

v = log(sample_gamma(k, a))

После адаптации всей остальной программы она работает правильно (по крайней мере, она дает мне те же точные результаты в тестовых случаях). Тем не менее, это медленнее, чем раньше.

Есть ли способ напрямую сэмплировать без использования медленных функций, таких как ? Я попробовал поискать в Google, но я даже не знаю, имеет ли этот дистрибутив общее имя (log-gamma?).журнал ( $X, \exp(X) \sim \text{Gamma}$$\log()$

Рассмотрим небольшой параметр формы около 0, такой как . В диапазоне между 0 и , приблизительно , так что гамма PDF приблизительно . Это может быть интегрировано в приблизительный CDF, . Обращая его, мы видим степень : огромный показатель. Для это вызывает некоторую вероятность недостаточного значения (значение двойной точности меньше , более или менее). Вот график вероятности недосыпания в зависимости от логарифма по основанию-десяти& alpha ; = 1 / 100 & alpha ; е - & alpha ; 1 х & alpha ; - 1 г х / Γ ( & alpha ; ) F & alpha ; ( х ) = х $\alpha$$\alpha = 1/100$$\alpha$$e^{-\alpha}$$1$$x^{\alpha-1}dx / \Gamma(\alpha)$ 1/& alpha& alpha=1/10010-300$F_\alpha(x) = \frac{x^\alpha}{\alpha \Gamma(\alpha)}$$1/\alpha$$\alpha = 1/100$$10^{-300}$$\alpha$ :

Одно из решений состоит в том, чтобы использовать это приближение для генерации логарифмических (гамма-вариаций): по сути, попробуйте сгенерировать гамма-вариацию и, если она слишком мала, сгенерировать ее логарифм из этого приблизительного распределения мощности (как показано ниже). (Повторяйте это до тех пор, пока журнал не окажется в пределах диапазона недостаточного заполнения, чтобы он являлся допустимой заменой исходной переменной пониженного значения.) Для вычисления Дирихле вычтите максимум всех логарифмов из каждого значения журнала: это неявно изменяет масштаб всех гамма изменяется, поэтому она не влияет на значения Дирихле. Обрабатывайте любой получающийся журнал, который слишком мал (скажем, меньше -100), как журнал с истинным нулем. Экспонировать другие журналы. Теперь вы можете продолжить без потери.

Это займет еще больше времени, чем раньше, но по крайней мере это сработает!

Чтобы сгенерировать приблизительный журнал Gamma варьировать с параметром формы , предварительно вычислите . Это легко, потому что существуют алгоритмы для непосредственного вычисления значений log Gamma . Создайте случайное число с плавающей точкой между 0 и 1, возьмите его логарифм, разделите на и добавьте к нему$\alpha$$C = \log(\Gamma(\alpha)) + \log(\alpha)$$\alpha$$C$

Поскольку параметр масштаба просто изменяет масштаб переменной, нет проблем с его размещением в этих процедурах. Вам даже не нужно, если все параметры шкалы одинаковы.

редактировать

В другом ответе OP описывает метод, в котором степень равномерной переменной (переменная ) умножается на переменную . Это работает, потому что pdf совместного распределения этих двух переменных равен . Чтобы найти pdf из мы подставляем , делим на хакобейский и интегрируем из . Интеграл должен находиться в диапазоне от до потому что , откуда$1/\alpha$$B(\alpha)$$\Gamma(\alpha+1)$$\left(\alpha x^{\alpha-1}\right) \left(y^{\alpha}e^{-y}dy/\Gamma(\alpha+1)\right)$$z = xy$$y \to z/x$$x$$x$$z$$\infty$$0 \le y \le 1$

который является pdf дистрибутива .$\Gamma(\alpha)$

Все дело в том, что когда , значение, полученное из , вряд ли будет недооценено, и, суммируя его log и раз логарифм независимой равномерной переменной, мы будет иметь журнал изменений . Журнал, скорее всего, будет очень отрицательным, но мы обойдем конструкцию его антилога, который будет потерян в представлении с плавающей запятой.$0 \lt \alpha \lt 1$$\Gamma(\alpha+1)$$1/\alpha$$\Gamma(\alpha)$

Я отвечаю на свой вопрос, но нашел довольно хорошее решение, даже если не до конца его понимаю. Глядя на код из Научной библиотеки GNU, мы рассмотрим примеры гамма-переменных ( rэто генератор случайных чисел, aэто и is ):$\alpha$b$\beta$

  if (a < 1)
    {
      double u = gsl_rng_uniform_pos (r);
      return gsl_ran_gamma (r, 1.0 + a, b) * pow (u, 1.0 / a);
   }

gsl_ran_gammaявляется функцией, которая возвращает гамма-случайную выборку (поэтому вышеупомянутый является рекурсивным вызовом), в то время как gsl_rng_uniform_posвозвращает равномерно распределенное число в ( для строго положительного, поскольку гарантированно не вернет 0.0).$(0,1)$_pos

Поэтому я могу взять журнал последнего выражения и использовать

return log(gsl_ran_gamma(r, 1.0 + a, b)) + log(u)/a;

Чтобы получить то, что я хотел. У меня сейчас два log()звонка (но на один меньше pow()), но результат, вероятно, лучше. До того, как указал Уубер, у меня было что-то повышенное до , потенциально огромное количество. Теперь в logspace я умножаю на . Таким образом, это меньше шансов на снижение.1 /$1/a$$1/a$