Распределение суммы квадратов Т-распределенных случайных величин

Я смотрю на распределение суммы квадратов Т-распределенных случайных величин с показателем хвоста . Где X - это rv, преобразование Фурье для , дает мне решение для квадрата до свертки . $\alpha$$X^2$$\mathscr{F}(t)$$\mathscr{F}(t)^n$

При решение возможно, но громоздко и невозможно инвертировать, чтобы сделать обратный Фурье для . Таким образом, возникает вопрос: была ли проделана работа по распределению выборочной дисперсии или стандартного отклонения Т-распределенных случайных величин? (Было бы для StudentT то, что хи-квадрат для Гаусса). Спасибо.$\alpha=3$$\mathscr{F}(t)^n$

(Возможное решение) Я выяснил, что распределено по Фишеру , поэтому посмотрим на сумму распределенных переменных Фишера.$X^2$$F(1,\alpha)$

(Возможное решение) Из характеристических функций среднее суммы имеет те же первые два момента распределения когда они существуют. Следовательно, с помощью квадратного корня и изменения переменной внутри распределения вероятностей плотность стандартного отклонения Т-переменных n-выборки можно аппроксимировать с помощью: X 2 F ( n , α ) g ( u ) = 2 α α / 2 n n / 2 u n - 1 ( α + n u 2 ) - $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

Уточнение вашего вопроса (мне кажется, что это две взаимосвязанные, но разные части): вы ищете (1) распределение суммы независимых квадратов случайных величин и (2) выборку распределение дисперсии (или связанного стандартного отклонения) случайной выборки, взятой из распределения (предположительно, ваша причина спросить о (1)).t α t $n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

Распределение суммы независимых квадратов переменных$t_{\alpha }$

Если (независимые) случайные переменные с df, то неверно, что (что это то, на что вы претендуете в своем втором «возможном решении»). Это легко проверить, рассматривая первый момент каждого (первый момент последнего в раз больше первого). $T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

Утверждение в вашем первом «возможном решении» является правильным: . Вместо того, чтобы прибегать к характеристическим функциям, я думаю, что этот результат более прозрачен, если рассматривать характеристику распределения как распределение отношения где - стандартная нормальная переменная и является хи-квадрат переменной с степенями свободы, независимо от . Тогда квадрат этого отношения представляет собой отношение двух независимых переменных хи-квадрат, масштабированных по соответствующим степеням свободы, т.е. с$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$, который является стандартной характеристикой распределения (с числителем df, равным 1, и знаменателем df, равным ).$F(1,\alpha)$$\alpha$

Принимая во внимание примечание, которое я сделал в отношении первых моментов в первом абзаце выше, может показаться, что лучше заявить, что [у меня есть здесь немного злоупотребляют обозначениями, используя то же выражение для распределения, а также случайную переменную, имеющую это распределение.]. Хотя первые моменты совпадают, вторые центральные моменты не совпадают (для дисперсия первого выражения меньше, чем дисперсия последнего выражения), так что это утверждение также ложно. [При этом интересно отметить, что , что является результатом, который мы ожидаем при суммировании в квадрате (стандарт) нормальные колебания.]$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$

Отбор проб Распределение дисперсионного При отборе проб из распространения$t_{\alpha }$

Учитывая то, что я написал выше, выражение, которое вы получаете для «плотности стандартного отклонения T-переменных n-выборки», неверно. Однако, даже если было правильным распределением, стандартное отклонение - это не просто квадратный корень из суммы квадратов (как вы, похоже, привыкли получить плотность ). Вместо этого вы будете искать (масштабированное) выборочное распределение . В нормальном случае LHS этого выражения может быть переписан как сумма квадратов нормальных переменных (термин внутри квадрата может быть переписан как линейная комбинация нормальных переменных, которая снова нормально распределена), что приводит к знакомый$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$Распределение . К сожалению, линейная комбинация переменных (даже с одинаковыми степенями свободы) не распределена как , поэтому подобный подход не может быть использован.$t$$t$

Возможно, вам следует пересмотреть то, что вы хотите продемонстрировать? Например, можно достичь цели, используя некоторые симуляции. Тем не менее, вы указываете пример с , ситуация, когда только первый момент является конечным, поэтому моделирование не поможет с такими моментными вычислениями. $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Вы можете проверить T-дистрибутив Hotelling ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ). Есть отношения с являющимся ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties ), но я не уверен, что это именно то, что вы просите. $T^2$$F$