Как найти вероятность ошибки типа II?

Я знаю, что ошибка типа II - это то, где H1 истинно, но H0 не отклоняется.

Вопрос

Как рассчитать вероятность ошибки типа II, связанной с нормальным распределением, где известно стандартное отклонение?

В дополнение к указанию $\alpha$ (вероятности ошибки типа I) вам нужна полностью определенная пара гипотез, т.е. необходимо знать $\mu_{0}$ , $\mu_{1}$ и $\sigma$ . $\beta$ (вероятность ошибки типа II) равна $1 - \textrm{power}$ . Я предполагаю односторонний $H_{1}: \mu_{1} > \mu_{0}$ . В R:

> sigma <- 15    # theoretical standard deviation
> mu0   <- 100   # expected value under H0
> mu1   <- 130   # expected value under H1
> alpha <- 0.05  # probability of type I error

# critical value for a level alpha test
> crit <- qnorm(1-alpha, mu0, sigma)

# power: probability for values > critical value under H1
> (pow <- pnorm(crit, mu1, sigma, lower.tail=FALSE))
[1] 0.63876

# probability for type II error: 1 - power
> (beta <- 1-pow)
[1] 0.36124

Редактировать: визуализация

xLims <- c(50, 180)
left  <- seq(xLims[1],   crit, length.out=100)
right <- seq(crit, xLims[2],   length.out=100)
yH0r  <- dnorm(right, mu0, sigma)
yH1l  <- dnorm(left,  mu1, sigma)
yH1r  <- dnorm(right, mu1, sigma)

curve(dnorm(x, mu0, sigma), xlim=xLims, lwd=2, col="red", xlab="x", ylab="density",
      main="Normal distribution under H0 and H1", ylim=c(0, 0.03), xaxs="i")
curve(dnorm(x, mu1, sigma), lwd=2, col="blue", add=TRUE)
polygon(c(right, rev(right)), c(yH0r, numeric(length(right))), border=NA,
        col=rgb(1, 0.3, 0.3, 0.6))
polygon(c(left,  rev(left)),  c(yH1l, numeric(length(left))),  border=NA,
        col=rgb(0.3, 0.3, 1, 0.6))
polygon(c(right, rev(right)), c(yH1r, numeric(length(right))), border=NA,
        density=5, lty=2, lwd=2, angle=45, col="darkgray")
abline(v=crit, lty=1, lwd=3, col="red")
text(crit+1,  0.03,  adj=0, label="critical value")
text(mu0-10,  0.025, adj=1, label="distribution under H0")
text(mu1+10,  0.025, adj=0, label="distribution under H1")
text(crit+8,  0.01,  adj=0, label="power", cex=1.3)
text(crit-12, 0.004,  expression(beta),  cex=1.3)
text(crit+5,  0.0015, expression(alpha), cex=1.3)

В дополнение к ответу Каракала, если вы ищете удобный для пользователя вариант с графическим интерфейсом для расчета частоты ошибок типа II или мощности для многих распространенных конструкций, включая те, которые подразумеваются вашим вопросом, вы можете попробовать бесплатное программное обеспечение G Power 3 .