Нижний индекс в ожиданиях

Каково точное значение индексной записи в условных ожиданиях в рамках теории меры? Эти индексы не появляются в определении условного ожидания, но мы можем видеть, например, на этой странице википедии . (Обратите внимание, что это было не всегда так, одна и та же страница несколько месяцев назад). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Например, что должно с и ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
источник

Без сомнения, кто-то присоединится к формальным определениям, неофициально, все ожидания - это ожидания относительно распределения (/ ожидания относительно) некоторой (возможно, многомерной) случайной величины, независимо от того, было ли это явно указано или подразумевается. Во многих случаях это очевидно ( подразумевает а не ). В других случаях необходимо различать; рассмотрим закон полной дисперсии, например: .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b Действительно ли необходимо указывать в законе полной дисперсии? Поскольку , для некоторого , не ясно ли, что над ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Томас Але

@ThomasAhle Вы совершенно правы - слово «необходимый» было слишком сильным для этого примера. Строго говоря, это должно быть ясно, но часто читатели, привыкшие работать с ним, часто путаются, поэтому обычно, а не обязательно, об этом прямо говорят. Есть некоторые выражения, связанные с ожиданиями, в которых вы не можете быть уверены, не указав, но на самом деле это не одно из них

— Glen_b

В выражении, в котором задействовано более одной случайной величины, один символ не разъясняет, в отношении какой случайной величины ожидаемое значение «принято». Например $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ или

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Ни один . Когда задействовано много случайных величин, и в символе отсутствует индекс , ожидаемое значение берется относительно их совместного распределения: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Когда присутствует индекс ... в некоторых случаях он говорит нам, какую переменную мы должны обусловить . Так

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Но в других случаях он говорит нам, какую плотность использовать для "усреднения"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Скорее запутанно, я бы сказал, но кто сказал, что научная нотация полностью свободна от двусмысленности или многократного использования? Вы должны посмотреть, как каждый автор определяет использование таких символов.

— Алекос Пападопулос
источник

У меня два вопроса. 1) Не уверен, правильно ли я понимаю, могу ли я интерпретировать ожидание как одно из первых двух уравнений, если X или Y были зафиксированы? 2) Можете ли вы привести пример для EQ 4 и EQ 5? Мне трудно их интерпретировать, и я думаю, что конкретные примеры помогут. Спасибо!

— потолочный кот

@ceiling кот 1) является правильным , потому что по существу вы не имеете две случайные величины больше. Аналогично для исправления в .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Алекос Пападопулос

@ceiling cat 2) -EQ5: рассмотрим . - случайная величина в порядке (для соответствующей поддержки). Затем, используя конкретное значение для краткой записи, где - плотность (что бы это ни было). Очевидно, не интегрируется, и он останется нетронутым. Но результат, который вы получите, выиграл ' не может быть числом (как в моем предыдущем комментарии), но случайной величиной (функцией ), поскольку здесь не фиксировано, а просто не интегрировано.

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Алекос Пападопулос

@ceiling cat В обоих случаях в моих двух предыдущих комментариях «механика» математических вычислений будет одинаковой. Конечные результаты имеют разные интерпретации.

— Алекос Пападопулос

@ceiling кот 2) -EQ4: Рассмотрим ту же случайную величину . Его ожидаемое значение, от : (используя другое значение для сокращенной записи) . Обратите внимание, что здесь и не появляются непосредственно в подынтегральном выражении - они «сжаты» в символе .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Алекос Пападопулос