Что означает «нормализация» и как проверить, что выборка или распределение нормализованы?

18

У меня есть вопрос, в котором он просит проверить, нормализовано ли равномерное распределение ( ${\rm Uniform}(a,b)$ ).

С одной стороны, что означает для любого распределения быть нормализованным?
И второе: как нам проверить, нормализовано ли распределение?

Я понимаю, вычисляя

\frac{X - mean}{sd}

$\frac{X-\text{mean}}{\text{sd}}$ мы получаем нормализованныеданные, но здесь мы просим проверить,нормализованолираспределение.

— Ada
источник

3

Что значит нормализовать распределение, не так просто (и обычно нормализуется не само распределение, а случайная величина). Например, в случае униформы некоторые люди могут иметь в виду «линейно измененный масштаб, чтобы получить стандартную униформу» (т.е. чтобы получить

a = 0

$a=0$ и

) ... в то время как другой человек может иметь в виду «линейно измененный масштаб, так что чтобы получить среднее значение 0 и SD 1 ". Что касается униформы, я обычно предпочитаю первое, но, как вы видите из ответа ниже, другие люди могут воспринимать это как нечто другое. Лучший вариант - попросить человека, использующего этот термин, быть менее двусмысленным.

b = 1

$b=1$

— Glen_b

1

Более общепринятые термины стандартизированы (для достижения среднего значения ноль и SD равно единице) и нормализованы (для доведения диапазона до интервала

или для масштабирования векторной нормы до

). Таким образом, повторное выражение

является стандартизацией, тогда как умножение плотности

на константу

дает

[0, 1]

$[0,1]$

1

$1$

X \to (X - mean) / S D

$X\to (X-\text{mean})/SD$

f

$f$

C

$C$

являетсянормализацией, потому что

являетсянормой

для

.

\int_{- \infty}^{\infty} C f (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^\infty Cf(x)dx=1$

\int f (x) d x

$\int f(x)dx$

L^{1}

$L^1$

f

$f$

— whuber

Также спросил на математике.

— Дилип Сарват

1

Пожалуйста, не кросс-пост , @ Ада. Это против политики SE. Если вы публикуете сайт Q на 1, а затем думаете, что вы должны были опубликовать его на другом сайте, отметьте свой вопрос и попросите модераторов перенести его для вас.

— gung - Восстановить Монику

33

К сожалению, термины по-разному используются в разных областях, разными людьми в одной и той же области и т. Д., Поэтому я не уверен, насколько хорошо это можно ответить здесь для вас. Вы должны убедиться, что вы знаете определение, которое ваш инструктор / учебник использует для «нормализованного». Тем не менее, вот некоторые общие определения:

По центру: Стандартизировано:

X - m e a n

$X-{\rm mean}$

нормализовано:

\frac{X - mean}{sd}

$\frac{X-\text{mean}}{\text{sd}}$

Нормализацияв этом смысле изменяет ваши данные в единичный интервал. Стандартизацияпревращает ваши данные в

, как отмечает @Jeff. Ацентрированиепросто делает среднее ваших данных равным

.

\frac{X - min (X)}{max (X) - min (X)}

$\frac{X-\min(X)}{\max(X)-\min(X)}$

z

$z$

0

$0$

Здесь стоит признать, что все три из них являются линейными преобразованиями ; как таковые, они не меняют форму вашего дистрибутива . То есть иногда люди называют преобразование score «нормализующим» и считают, что из -за ассоциации scores с нормальным распределением это делало их данные нормально распределенными. Это не так (как замечает @Jeff, и как вы могли бы сказать, нанося на график ваши данные до и после). Если вам интересно, вы можете изменить форму своих данных, например, с помощью семейства преобразований Box-Cox . $z$ $z$

Что касается того, как вы могли бы проверить эти преобразования, это зависит от того, что именно подразумевается под этим. Если они имеют в виду просто проверить, что код работает правильно, вы можете проверить средства, SD, минимумы и максимумы.

— Gung - Восстановить Монику
источник

1

Я видел, что нормализованное используется для предложения стандартизированного или для предложения подгонки к стандартному нормальному распределению, т.

, поэтому из трех нормированных , скорее всего, будет неправильно понято. Комментарий Ады о применении нормализующей константы к функции правдоподобия является еще одной возможной интерпретацией.

Φ^{- 1} (F (X))

$\Phi^{-1}(F(X))$

— Генри

4

Используя формулу, предоставленную вами для каждой оценки в вашей выборке, вы конвертируете их все в z-оценки .

Чтобы убедиться, что вы правильно вычислили все z-баллы, найдите новое среднее значение и стандартное отклонение для вашей выборки. Если среднее значение равно а стандартное отклонение равно $0$ , вы все сделали правильно. $1$

Цель этого состоит в том, чтобы поместить все в единицы относительно стандартного отклонения вашей выборки. Это может быть полезно для различных целей, таких как сравнение двух разных наборов данных, которые были оценены с использованием разных единиц (возможно, сантиметров и дюймов).

Важно не путать это с вопросом, является ли распределение нормальным , т. Е. Приближается ли оно к гауссову распределению .

— Джефф
источник

поэтому, чтобы проверить, было ли нормализовано равномерное распределение, было бы эквивалентно сказать E (X) = 0 и Var (X) = 1, где X ~ Uniform (a, b)?

2

данные даже не должны быть из равномерного распределения, они могут быть из любого распределения. Кроме того, это верно только с использованием предоставленной вами формулы; данные могут быть нормализованы другими способами, кроме использования z-показателей. например, показатели IQ, как говорят, нормализуются со счетом 100 и стандартным отклонением 15.

— Джефф

1

После консультации с ТП вопрос был задан:

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$

$f(x)$

— Ada
источник

2

Используемая здесь терминология заключается в том, что функция плотности вероятности распределения нормирована. Потому что это отражает аксиоматический факт, что полная вероятность должна быть равна

1

$1$ На вопрос, нормализуется ли само распределение (в этом смысле), всегда один и тот же тривиальный ответ: конечно.

— whuber

Это то, что нас просят проверить. f (x) не обязательно должен быть pdf, и это может быть любая неотрицательная функция. Для любой неотрицательной функции, где вышеупомянутое не удовлетворяет, мы всегда можем умножить на нормирующую константу

— Ада

1

Не всегда. Например, пусть

f (x) = e^{- x}

$f(x)=e^{-x}$ неотрицательная функция, определенная для всех действительных чисел: нормализующая константа отсутствует. Но когда вам, как и в вашем вопросном заявлении, говорят, что «такой-то и есть PDF-файл для такого-и-такого распределения», тогда нечего проверять: по определению он интегрируется в единство.

— whuber

Это верно не любая неотрицательная функция, где мы можем заставить это удовлетворять вышеупомянутому условию, даже если мы умножаем на нормализующую константу.

— Ада