Когда функция биномиального распределения выше / ниже предельной функции распределения Пуассона?

Обозначим через биномиальную функцию распределения (DF) с параметрами и вычисленными при : и пусть обозначает пуассоновский DF с параметром оцененным при : $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

Рассмотрим $p \rightarrow 0$ , и пусть $n$ будет определено как $\lceil a/p-d \rceil$ , где $d$ - постоянная порядка $1$ . Поскольку $np \rightarrow a$ , функция $B(n,p,r)$ сходится к $F(a,r)$ для всех $r$ , как хорошо известно.

С приведенным выше определением для $n$ меня интересует определение значений $a$ для которых

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$ и аналогично тем, для которых

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$ Я был в состоянии доказать , что первое неравенство имеет место для существенно меньше , чем

; более конкретно, для ниже определенного связанного

, с

. Аналогичным образом , второе неравенство имеет место для

достаточной степени больше , чем

, то есть для

a

$a$

r

$r$

a

$a$

g (r)

$g(r)$

g (r) < r

$g(r)<r$

a

$a$

r

$r$

a

$a$ больше определенной границы

h (r)

$h(r)$ , причем

h (r) > r

$h(r)>r$ . (Выражения границ

g (r)

$g(r)$ и

h (r)

$h(r)$ здесь неуместны. Я предоставлю подробности всем, кто интересуется.) Однако численные результаты показывают, что эти неравенства справедливы для менее строгих границ, то есть для

a

$a$ близких к

r

$r$ , чем я могу доказать.

Итак, я хотел бы знать, есть ли некоторая теорема или результат, который устанавливает, при каких условиях выполняется каждое неравенство (для всех $p$ ); то есть когда биномиальный DF гарантированно будет выше / ниже своего предельного пуассоновского DF. Если такой теоремы не существует, любая идея или указатель в правильном направлении будут оценены.

Обратите внимание, что аналогичный вопрос, сформулированный с точки зрения неполных функций бета и гамма, был размещен на math.stackexchange.com, но не получил ответа.

— Луис Мендо
источник

Это интересный вопрос, хотя я думаю, что это поможет прояснить несколько вещей, в частности, которые являются «движущимися частями», а какие нет. Кажется, вы хотите получить оценку, которая равномерно держится в для каждого фиксированного . Но какова роль здесь? Это не должно иметь большого значения, но нужно ли это введение? Один из подходов может состоять в том, чтобы посмотреть на вещи с точки зрения времени ожидания пуассоновского процесса и связать их с соответствующими геометрическими временами ожидания (через взятие потолка каждого) для вашей биномиальной случайной величины. Но это может не привести к той форме, которую вы ищете.

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— кардинал

@cardinal Спасибо, что нашли время. Да, я хочу, чтобы граница была равномерной по р. Все остальные параметры являются фиксированными (но выбираемыми). - только один такой свободный параметр. Например, один гипотетический результат может быть следующим: «Для любого натурального больше и любого первое неравенство выполняется для всех и для всех , а второе верно для всех и для всех .

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Луис Мендо,

Существует теория Штейна-Чена, которая оценивает ошибки, когда вы используете Пуассона Р. В. для оценки суммы необязательных независимых переменных Бернулли. Не уверен насчет твоего вопроса.

— Затерян 1

Для конечного биномиальное распределение имеет замкнутый носитель сверху. Его размер можно выбрать (выбрав ), но он закрыт. С другой стороны, распределение Пуассона имеет неограниченную поддержку. Поскольку мы смотрим на CDF, для любого конечного у нас всегда будет для любых допустимых значений . Таким образом, условия для второго неравенства, за которым следует ОП, всегда будут включать, по крайней мере, «для ...»

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

r < n

$r<n$

— Алекос Пападопулос

См. Ответ Дида

— Алекс Р.

Что касается следующего:

среднее биноминального $np$
дисперсия $np(1-p)$
среднее значение пуассоновского расстояния есть , которое мы можем представить как $\lambda$ $n\times p$
дисперсия Пуассона такая же, как среднее

Теперь, если Пуассон является пределом для бинома с параметрами и , так что увеличивается до бесконечности, а уменьшается до нуля, а их произведение остается постоянным, то, предполагая, что и не сходятся к своим соответствующим пределам, выражение всегда больше, чем , поэтому дисперсия бинома меньше, чем дисперсия пуассона. Это будет означать, что Бином ниже в хвостах и выше в других местах. $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
источник

Спасибо за ваш вклад. Мне кажется, что он не отвечает на этот вопрос, потому что (1) ФП интересуется CDF, а не PDF. (2) Он просит количественного ответа.

— whuber