Переменная кода в функции nlm ()

В R есть функция nlm (), которая выполняет минимизацию функции f с помощью алгоритма Ньютона-Рафсона. В частности, эта функция выводит значение кода переменной, определенного следующим образом:

закодируйте целое число, указывающее, почему процесс оптимизации завершился.

1: относительный градиент близок к нулю, текущая итерация, вероятно, является решением.

2: последовательные итерации в пределах допуска, текущая итерация, вероятно, является решением.

3: последний глобальный шаг не смог найти точку ниже, чем оценка. Либо оценка является приблизительным локальным минимумом функции, либо стептол слишком мал.

4: превышен лимит итераций.

5: максимальный размер шага stepmax превышен пять раз подряд. Либо функция не ограничена снизу, становится асимптотической конечному значению сверху в некотором направлении, либо stepmax слишком мал.

Может ли кто-нибудь объяснить мне (возможно, используя простую иллюстрацию с функцией только одной переменной), что соответствует ситуациям 1-5?

Например, ситуация 1 может соответствовать следующей картинке:

Заранее спасибо!

Эти ситуации более понятны, если иметь в виду, что такое минимизация или максимизация и как работает оптимизация.

$f$$x_0$$x_i$$x_0$$f$

$i$

Тогда для каждого близкого к x 0, имеем f ( $x$$x_0$$f(x)>f(x_0)$$f(x_i)>f(x_{i-1})$

Теперь, если функция имеет производную в x 0, то обязательно$f$$x_0$$\nabla f(x_0)=0$$\nabla f(x_i)\approx 0$$x_i$

Каждая сходящаяся последовательность вещественных векторов является последовательностью Коши и наоборот, что примерно означает, что если близко к x 0 , то x i близко к x i + 1 и наоборот, где i - номер итерации. Так что если$x_i$$x_0$$x_i$$x_{i+1}$$i$$|x_i-x_{i-1}|<\varepsilon$$x_i$$x_0$

У сходящихся последовательностей есть свойство, которое они заключают, то есть, если мы близки к сходимости, все остальные элементы последовательности содержатся в небольшой области. Таким образом, если последовательность, которая в теории должна сходиться, начинает предпринимать большие шаги, это указывает на то, что сходимости, вероятно, нет. Это соответствует ситуации 5

Примечание. Строгие математические определения были намеренно исключены.