Оценка максимального правдоподобия - доверительный интервал

Как я могу построить асимптотический доверительный интервал для реального параметра, начиная с MLE для этого параметра?

Одним из способов решения этой проблемы является использование дельта-метода: en.wikipedia.org/wiki/Delta_method

Я заметил , есть голоса , чтобы закрыть этот вопрос как слишком широкие, но есть общая теорема об асимптотическом поведении ОМПА , которое может быть кратко сформулировано. Я дал краткий ответ, который я расширю чуть позже.

— Scortchi - Восстановить Монику

Используйте тот факт, что для выборки iid размера при некоторых условиях регулярности MLE является непротиворечивой оценкой истинного параметра , а его распределение асимптотически нормальным, а дисперсия определяется обратной величиной Информация о Фишере: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ где - это информация Фишера из одного образца. Наблюдаемая информация в MLE асимптотически стремится к ожидаемой информации, поэтому вы можете рассчитать (скажем, 95%) доверительные интервалы с

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

Например, если - усеченная до нуля переменная Пуассона, вы можете получить формулу для наблюдаемой информации в терминах MLE (которую вы должны вычислить численно): $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

Известные случаи, исключенные условиями регулярности, включают те, где

параметр определяет поддержку данных, например, выборка из равномерного распределения между нулями и $\theta$ $\theta$
количество неприятных параметров увеличивается с размером выборки

— Scortchi - Восстановить Монику
источник

Применяется ли этот метод неизмененным, когда есть ограничения на , например, ? Как насчет MLE для параметров , таких что и ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

— Quant_Dev

Если , то есть истинное значение не равно одной из границ.

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

— Scortchi - Восстановить Монику

Если иразве это не означает, что нормальное приближение не применимо, и мне нужно больше образцов?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

— Quant_Dev

Да, это только асимптотический доверительный интервал.

— Scortchi - Восстановить Монику

@quant_dev: Нет: вы бы искали преобразование параметра (ов), который сделал бы нормальное приближение достойным, или использовали бы другой метод.

— Scortchi - Восстановить Монику