Как рассчитать коэффициент закона Ципфа из набора верхних частот?

У меня есть несколько частот запросов, и мне нужно оценить коэффициент закона Ципфа. Это верхние частоты:

26486
12053
5052
3033
2536
2391
1444
1220
1152
1039

Обновление Я обновил код с оценкой максимального правдоподобия согласно предложению @whuber. Минимизация суммы квадратов различий между логарифмическими теоретическими вероятностями и логарифмическими частотами, хотя дает ответ, была бы статистической процедурой, если бы можно было показать, что это своего рода М-оценка. К сожалению, я не мог придумать ни одного, который мог бы дать такие же результаты.

Вот моя попытка. Я вычисляю логарифмы частот и пытаюсь привести их в соответствие с логарифмами теоретических вероятностей, которые дает эта формула . Конечный результат кажется разумным. Вот мой код в R.

fr <- c(26486, 12053, 5052, 3033, 2536, 2391, 1444, 1220, 1152, 1039)

p <- fr/sum(fr)

lzipf <- function(s,N) -s*log(1:N)-log(sum(1/(1:N)^s))

opt.f <- function(s) sum((log(p)-lzipf(s,length(p)))^2)

opt <- optimize(opt.f,c(0.5,10))

> opt
$minimum
[1] 1.463946

$objective
[1] 0.1346248

Тогда наилучшее квадратичное соответствие будет .$s=1.47$

Максимальное правдоподобие в R можно выполнить с помощью mleфункции (из stats4пакета), которая услужливо рассчитывает стандартные ошибки (если указана правильная функция отрицательного максимального правдоподобия):

ll <- function(s) sum(fr*(s*log(1:10)+log(sum(1/(1:10)^s))))

fit <- mle(ll,start=list(s=1))

> summary(fit)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = ll, start = list(s = 1))

Coefficients:
  Estimate  Std. Error
s 1.451385 0.005715046

-2 log L: 188093.4 

Вот график соответствия в масштабе log-log (опять же, как предложил @whuber):

s.sq <- opt$minimum
s.ll <- coef(fit)

plot(1:10,p,log="xy")
lines(1:10,exp(lzipf(s.sq,10)),col=2)
lines(1:10,exp(lzipf(s.ll,10)),col=3)

Красная линия - это сумма подходящих квадратов, зеленая линия - соответствие с максимальным правдоподобием.

Перед любой проблемой оценки стоит несколько вопросов :

1. Оцените параметр.

2. Оцените качество этой оценки.

3. Изучите данные.

4. Оцените подгонку.

Для тех, кто использует статистические методы для понимания и общения, первое никогда не должно делаться без других.

$i=1,2,\ldots,n$$i^{-s}$$s$$s\gt 0$

$i$$1$$n$

$f_i, i=1,2,\ldots, n$

Таким образом, логарифмическая вероятность для данных

$s$

$\hat{s} = 1.45041$$\Lambda(\hat{s}) = -94046.7$$\hat{s}_{ls} = 1.463946$$\Lambda(\hat{s}_{ls}) = -94049.5$

$s$$[1.43922, 1.46162]$

Учитывая природу закона Ципфа, правильный способ составить график этого подбора - на графике log-log , где подгонка будет линейной (по определению):

Чтобы оценить правильность подбора и изучить данные, посмотрите на остатки (данные / подбор, снова ось log-log):

$\chi^2 = 656.476$

Поскольку остатки кажутся случайными, в некоторых приложениях мы могли бы принять закон Ципфа (и нашу оценку параметра) в качестве приемлемого, хотя и грубого описания частот . Этот анализ показывает, однако, что было бы ошибкой предполагать, что эта оценка имеет какое-либо объяснительное или прогнозное значение для набора данных, рассматриваемого здесь.

$s$

Один из вероятностных языков программирования, такой как PyMC3, делает эту оценку относительно простой. Другие языки включают Stan, у которого есть отличные возможности и поддерживающее сообщество.

Вот моя реализация Python модели, адаптированной к данным OP (также на Github ):

import theano.tensor as tt
import numpy as np
import pymc3 as pm
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.array( [26486, 12053, 5052, 3033, 2536, 2391, 1444, 1220, 1152, 1039] )

N = len( data )

print( "Number of data points: %d" % N )

def build_model():
    with pm.Model() as model:
        # unsure about the prior...
        #s = pm.Normal( 's', mu=0.0, sd=100 )
        #s = pm.HalfNormal( 's', sd=10 )
        s = pm.Gamma('s', alpha=1, beta=10)

        def logp( f ):
            r = tt.arange( 1, N+1 )
            return -s * tt.sum( f * tt.log(r) ) - tt.sum( f ) * tt.log( tt.sum(tt.power(1.0/r,s)) )

        pm.DensityDist( 'obs', logp=logp, observed={'f': data} )

    return model


def run( n_samples=10000 ):
    model = build_model()
    with model:
        start = pm.find_MAP()
        step = pm.NUTS( scaling=start )
        trace = pm.sample( n_samples, step=step, start=start )

    pm.summary( trace )
    pm.traceplot( trace )
    pm.plot_posterior( trace, kde_plot=True )
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    run()

$s$$s$

Чтобы обеспечить некоторую базовую диагностику выборки, мы можем видеть, что выборка «хорошо перемешивалась», так как мы не видим никакой структуры в трассе:

Для запуска кода необходим Python с установленными пакетами Theano и PyMC3.

Спасибо @ w-huber за отличный ответ и комментарии!

Вот моя попытка привести данные в соответствие, оценить и изучить результаты с помощью VGAM:

require("VGAM")

freq <- dzipf(1:100, N = 100, s = 1)*1000 #randomizing values
freq <- freq  + abs(rnorm(n=1,m=0, sd=100)) #adding noize

zdata <- data.frame(y = rank(-freq, ties.method = "first") , ofreq = freq)
fit = vglm(y ~ 1, zipf, zdata, trace = TRUE,weight = ofreq,crit = "coef")
summary(fit)

s <- (shat <- Coef(fit)) # the coefficient we've found
probs <- dzipf(zdata$y, N = length(freq), s = s) # expected values
chisq.test(zdata$ofreq, p = probs) 
plot(zdata$y,(zdata$ofreq),log="xy") #log log graph
lines(zdata$y, (probs)*sum(zdata$ofreq),  col="red") # red line, num of predicted frequency

    Chi-squared test for given probabilities

data:  zdata$ofreq
X-squared = 99.756, df = 99, p-value = 0.4598

В нашем случае нулевая гипотеза Чи-квадрата состоит в том, что данные распределяются по закону Зипфа, поэтому большие значения р подтверждают утверждение, что данные распределяются в соответствии с ним. Обратите внимание, что даже очень большие значения p не являются доказательством, это просто показатель.

$x = 1$$\hat{w_{x=1}}$

$\hat{w_{x=1}} = 0.4695599775$

Опять же, UWSE предоставляет только непротиворечивую оценку - без доверительных интервалов, и мы можем увидеть некоторый компромисс в точности. Приведенное выше решение mpiktas также является приложением UWSE - хотя программирование необходимо. Для полного объяснения оценки см .: https://paradsp.wordpress.com/ - полностью внизу.

Мое решение пытается дополнить ответы, предоставленные mpiktas и whuber, которые осуществляют реализацию на Python. Наши частоты и диапазоны х:

freqs = np.asarray([26486, 12053, 5052, 3033, 2536, 2391, 1444, 1220, 1152, 1039])
x = np.asarray([1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9, 10])

Поскольку наша функция не определена во всем диапазоне, нам нужно проверять, что мы нормализуем каждый раз, когда вычисляем ее. В дискретном случае простым приближением является деление на сумму всех y (x). Таким образом, мы можем сравнить различные параметры.

f,ax = plt.subplots()
ax.plot(x, f1, 'o')
ax.set_xscale("log")
ax.set_yscale("log")

def loglik(b):  
    # Power law function
    Probabilities = x**(-b)

    # Normalized
    Probabilities = Probabilities/Probabilities.sum()

    # Log Likelihoood
    Lvector = np.log(Probabilities)

    # Multiply the vector by frequencies
    Lvector = np.log(Probabilities) * freqs

    # LL is the sum
    L = Lvector.sum()

    # We want to maximize LogLikelihood or minimize (-1)*LogLikelihood
    return(-L)

s_best = minimize(loglik, [2])
print(s_best)
ax.plot(x, freqs[0]*x**-s_best.x)

Результат дает нам наклон 1.450408, как и в предыдущих ответах.