Достижимые корреляции для экспоненциальных случайных величин


12

Каков диапазон достижимых корреляций для пары экспоненциально распределенных случайных величин и , где - это параметры ставки?X1Exp(λ1)X2Exp(λ2)λ1,λ2>0


1
Этот вопрос связан с дополнительным комментарием здесь .
QuantIbex

Ответы:


9

Пусть (соответственно \ rho _ {\ max} ) обозначает нижнюю (соответственно верхнюю) границу достижимой корреляции между X_1 и X_2 . Границы \ rho _ {\ min} и \ rho _ {\ max} достигаются, когда X_1 и X_2 являются соответственно контрмонотонными и комонотонными (см. Здесь ).ρminρmaxX1X2ρminρmaxX1X2

Нижняя граница
Чтобы определить нижнюю границу мы построим пару контрмонотонных экспоненциальных переменных и вычислим их корреляцию.ρmin

Необходимое и достаточное условие , упомянутые здесь , и вероятность интегрального преобразование обеспечивает удобный способ построения случайных величин и таким образом, что они являются countermonotonic. Напомним, что экспоненциальная функция распределения равна , поэтому квантильная функция равна .X1X2
F(x)=1exp(λx)F1(q)=λ1log(1q)

Пусть - равномерно распределенные случайные величины, тогда также равномерно распределены и случайные величины имеют экспоненциальное распределение со и соответственно. Кроме того, они контрмонотонны, поскольку и , а функции и соответственно увеличиваются и уменьшаются.UU(0,1)1U

X1=λ11log(1U),and X2=λ21log(U)
λ1λ2X1=h1(U)X2=h2(U)h1(x)=λ11log(1x)h2(x)=λ11log(x)

Теперь давайте вычислим соотношение и . По свойствам экспоненциального распределения имеем , , и . Кроме того, у нас есть гдеX1X2E(X1)=λ11E(X2)=λ21var(X1)=λ12var(X2)=λ22

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(U)}=λ11λ2101log(1u)log(u)fU(u)du=λ11λ2101log(1u)log(u)du=λ11λ21(2π26),
fU(u)1является функцией плотности стандартного равномерного распределения. Для последнего равенства я полагался на WolframAlpha .

Таким образом, Обратите внимание, что нижняя граница не зависит от скоростей и , и что корреляция никогда не достигает , даже когда оба поля равны (то есть, когда ).

ρmin=corr(X1,X2)=λ11λ21(2π2/6)λ11λ21λ12λ22=1π2/60.645.
λ1λ21λ1=λ2

Верхняя граница
Для определения верхней границы мы используем аналогичный подход с парой комонотонных экспоненциальных переменных. Теперь пусть и где и , которые являются возрастающими функциями. Таким образом, эти случайные величины являются комонотонными и экспоненциально распределены со скоростями и .ρmaxX1=g1(U)X2=g2(U)g1(x)=λ11log(1x)g2(x)=λ21log(1x)λ1λ2

У нас есть и, таким образом, Аналогично нижней границе, верхняя граница не зависит от скоростей и .

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(1U)}=λ11λ2101{log(1u)}2du=2λ11λ21,
ρmax=corr(X1,X2)=2λ11λ21λ11λ21λ12λ22=1.
λ1λ2

1
Спасибо за ваши расчеты. Я просто хотел добавить, что мог быть найден немедленно, заметив, что и относятся к одному и тому же типу: имеет распределение , т.е. такое же распределение . ρmax=1X1X2λ1λ2X1Exp(λ2)X2
user48713

2
(+1). Обратите внимание, что верхняя граница очевидна при наблюдении двух экспоненциальных переменных, отличающихся только масштабным коэффициентом. В равной степени очевидно, что нижняя граница не может достичь когда (в противном случае асимметрия была бы равна нулю). 1λ1λ2
whuber
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.