Ответы:
Пусть (соответственно \ rho _ {\ max} ) обозначает нижнюю (соответственно верхнюю) границу достижимой корреляции между X_1 и X_2 . Границы \ rho _ {\ min} и \ rho _ {\ max} достигаются, когда X_1 и X_2 являются соответственно контрмонотонными и комонотонными (см. Здесь ).
Нижняя граница
Чтобы определить нижнюю границу мы построим пару контрмонотонных экспоненциальных переменных и вычислим их корреляцию.
Необходимое и достаточное условие , упомянутые здесь , и вероятность интегрального преобразование обеспечивает удобный способ построения случайных величин и таким образом, что они являются countermonotonic.
Напомним, что экспоненциальная функция распределения равна , поэтому квантильная функция равна .
Пусть - равномерно распределенные случайные величины, тогда также равномерно распределены и случайные величины имеют экспоненциальное распределение со и соответственно. Кроме того, они контрмонотонны, поскольку и , а функции и соответственно увеличиваются и уменьшаются.
Теперь давайте вычислим соотношение и . По свойствам экспоненциального распределения имеем , , и . Кроме того, у нас есть где
Таким образом, Обратите внимание, что нижняя граница не зависит от скоростей и , и что корреляция никогда не достигает , даже когда оба поля равны (то есть, когда ).
Верхняя граница
Для определения верхней границы мы используем аналогичный подход с парой комонотонных экспоненциальных переменных. Теперь пусть и где
и , которые являются возрастающими функциями. Таким образом, эти случайные величины являются комонотонными и экспоненциально распределены со скоростями и .
У нас есть и, таким образом, Аналогично нижней границе, верхняя граница не зависит от скоростей и .