Генерация пар случайных чисел, равномерно распределенных и коррелированных

Я хотел бы генерировать пары случайных чисел с определенной корреляцией. Однако обычный подход использования линейной комбинации двух нормальных переменных здесь недопустим, поскольку линейная комбинация равномерных переменных больше не является равномерно распределенной переменной. Мне нужно, чтобы две переменные были одинаковыми.

Любая идея о том, как генерировать пары однородных переменных с заданной корреляцией?

Я не знаю универсального метода для генерации коррелированных случайных величин с любым заданным предельным распределением. Итак, я предложу специальный метод для генерации пар равномерно распределенных случайных величин с заданной (Pearson) корреляцией. Без ограничения общности я предполагаю, что желаемое предельное распределение является стандартным равномерным (т. Е. Поддержка $[0, 1]$ ).

Предлагаемый подход основан на следующем:
a) Для стандартных равномерных случайных величин и U 2 с соответствующими функциями распределения F 1 и F 2 имеем F i ( U i ) = U i , для i = 1 , 2 . Таким образом, по определению число Спирмена равно ρ S ( U 1 , U 2 ) = c o r r ( $U_1$$U_2$$F_1$$F_2$$F_i(U_i) = U_i$$i = 1, 2$ Таким образом, коэффициенты корреляции Спирмена и Пирсона равны (примерные версии могут отличаться).

б) Если являются случайными величинами с непрерывными полями и гауссовой копулой с коэффициентом корреляции (Пирсона) ρ , то число Спирмена равно ρ S ( X 1 , X 2 ) = $X_1, X_2$$\rho$ Это позволяет легко генерировать случайные величины, которые имеют желаемое значение ро Спирмена.

Подход заключается в том, чтобы генерировать данные из гауссовой связки с подходящим коэффициентом корреляции , так что относительное число Спирмена соответствует желаемой корреляции для однородных случайных величин.$\rho$

Алгоритм моделирования
Пусть обозначает желаемый уровень корреляции, а n - количество генерируемых пар. Алгоритм:$r$$n$

1. Вычислить .$\rho = 2\sin (r \pi/6)$
2. Генерация пары случайных величин из гауссовой связки (например, при таком подходе )
3. Повторите шаг 2 раз.$n$

Пример
Следующий код является примером реализации этого алгоритма с использованием R с целевой корреляцией и n = 500 пар.$r = 0.6$$n = 500$

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
r <- 0.6                            # Target (Spearman) correlation
n <- 500                            # Number of samples

## Functions
gen.gauss.cop <- function(r, n){
    rho <- 2 * sin(r * pi/6)        # Pearson correlation
    P <- toeplitz(c(1, rho))        # Correlation matrix
    d <- nrow(P)                    # Dimension
    ## Generate sample
    U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))
    return(U)
}

## Data generation and visualization
U <- gen.gauss.cop(r = r, n = n)
pairs(U, diag.panel = function(x){
          h <- hist(x, plot = FALSE)
          rect(head(h$breaks, -1), 0, tail(h$breaks, -1), h$counts/max(h$counts))})

На рисунке ниже, диагональные графики показывают гистограммы переменных и U 2 , а недиагональные графики показывают графики рассеяния U 1 и U 2 . $U_1$$U_2$$U_1$$U_2$

По построению случайные величины имеют одинаковые поля и коэффициент корреляции (близкий к) . Но из-за эффекта выборки коэффициент корреляции смоделированных данных не точно равен r .$r$$r$

cor(U)[1, 2]
# [1] 0.5337697

Обратите внимание, что gen.gauss.copфункция должна работать с более чем двумя переменными, просто указав большую корреляционную матрицу.

$r= -0.5, 0.1, 0.6$$n$

## Simulation
set.seed(921)
r <- 0.6                                                # Target correlation
n <- c(10, 50, 100, 500, 1000, 5000); names(n) <- n     # Number of samples
S <- 1000                                               # Number of simulations

res <- sapply(n,
              function(n, r, S){
                   replicate(S, cor(gen.gauss.cop(r, n))[1, 2])
               }, 
               r = r, S = S)
boxplot(res, xlab = "Sample size", ylab = "Correlation")
abline(h = r, col = "red")

$u_1$$U(0,1)$$u_1$$w_1$$U(0,1)$$I = 1$$u_1$$w_2$$U(0,1)$$I = 0$$u_1$$U(0,1)$$u_2$

$E(u_1 u_2) = E[I w_1 + (1-I) w_2][I w_1 + (1-I) w_3]$

$I(I-1)=0$$I^2=I$$(1-I)^2=(1-I)$$I$$0$$1$$I$$w$

$E(u_1 u_2) = E(I)E(w_1^2) + E(1-I)E(w_2)E(w_3)$ $=pE(w_1^2)+(1-p)/4$

$V(w_1)=1/12$$E(w_1^2)=1/3$$E(u_1 u_2) = p/12 + 1/4$$cov(u_1 u_2) = p/12$$V(u_1)=V(u_2)=1/12$$cor(u_1, u_2) = p$

$(u_1, u_2) = Iw_1 + (1-I) (w_2, w_3)$, where $w_1, w_2,$ and $w_3$ are independent $U(0,1)$ and $I$ is Bernoulli($p$). $u_1$ and $u_2$ will then have $U(0,1)$ distributions with correlation $p$. This extends immediately to $k$-tuples of uniforms with compound symmetric variance matrix.

If you want pairs with negative correlation, use $(u_1, u_2) = I(w_1, 1-w_1) + (1-I)(w_2, w_3)$, and the correlation will be $-p$.