Ожидаемое количество раз, когда эмпирическое среднее будет превышать значение

Принимая во внимание последовательность одинаково распределенных случайных величин, скажем, для , я пытаюсь связали ожидаемое количество раз эмпирических средних $X_i \in [0,1]$ $i = 1,2,...,n$ будет превышать значение,, так как мы продолжаем рисовать выборки, то есть: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ $c \geq 0$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} P ({\frac{1}{j} \sum_{i = 1}^{j} X_{i} \geq c})

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \mathbb{P} \left(\left\{ \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \geq c\right\}\right)$

Если предположить, что для некоторого , мы можем использовать неравенство Хеффдинга, чтобы прийти к $c = a + \mathbb{E}[X]$ $a > 0$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} e^{- 2 j a^{2}} \\ = \frac{1 - e^{- 2 a^{2} n}}{e^{2 a^{2}} - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n e^{-2ja^2} \\ & = \frac{1 - e^{-2 a^2 n}}{e^{2 a^2}-1} \end{align}$

Что выглядит неплохо (может быть), но на самом деле это довольно слабая граница, есть ли лучшие способы ограничить это значение? Я ожидаю, что может быть способ, поскольку различные события (для каждого ) явно не независимы, я не знаю ни одного способа использовать эту зависимость. Также было бы неплохо снять ограничение, что больше среднего. $j$ $c$

edit : ограничение на , превышающее среднее значение, может быть снято, если мы используем неравенство Маркова следующим образом: $c$

Что является более общим, но гораздо хуже, чем приведенная выше оценка, хотя ясно, чтодолжен расходиться всякий раз, когда.

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} \frac{\frac{1}{j} E [X]}{c} \\ = \frac{E [X] H_{n}}{c} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n \frac{\frac{1}{j}\mathbb{E}[X]}{c} \\ & = \frac{\mathbb{E}[X]H_n}{c} \end{align}$

T

$\mathcal{T}$

c \leq E [X]

$c \leq \mathbb{E}[X]$

mathematical-statistics expected-value bounds

— fairidox
источник

T

$\mathcal{T}$

j \times

$j\times$

c

$c$

c \leq 0

$c\le 0$

T = n (n + 1) / 2

$\mathcal{T} = n(n+1)/2$

@ whuber О, хорошо, хорошо, спасибо, я исправил это выше.

— fairidox

Я заметил, что вы изменили свою верхнюю границу. Теперь это кажется отрицательным ;-).

— whuber

j

$j$

$\bar x_j$ $F_j$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} (1 - F_{j} (c)) = n - \sum_{j = 1}^{n} F_{j} (c)

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \left(1-F_j(c)\right) = n- \sum_{j=1}^n F_j(c)$

$m$ $\hat G$

T = n - \sum_{j = 1}^{m} F_{j} (c) - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c) < n - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c)

$\mathcal{T} = n- \sum_{j=1}^m F_j(c)-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c) < n-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c)$

$\hat G_j(c)$

{\hat{G}}_{j} (c) = 1 - Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (μ - c))

$\hat G_j(c) = 1- \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(\mu-c)\right)$

Φ

$\Phi$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

T < m + \sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\mathcal{T} < m+\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

$m= 30$ $[0,1]$ $\sigma = \sqrt \frac{1}{12}$ $\mu = \frac 12$ $a=0.05$ $n=34$ $n>30$ $n=100$ $78.5$ $36.2$ $\approx 199.5$ $\approx 38.5$ $a$ $a=0.1$ $49.5$ $30.5$
$n\rightarrow \infty$

H_{b} \to \frac{1}{e^{2 a^{2}} - 1}

$H_b\rightarrow \frac{1}{e^{2 a^2}-1}$

A_{b} \to m

$A_b \rightarrow m$

$a$ $H_b$ $A_b$

— Алекос Пападопулос
источник

« (т. е. не более предполагаемого порога размера выборки, необходимого для получения нормального приближения в распределении среднего значения выборки) » о чем вы здесь говорите?

— Glen_b

\approx 30.5

$\approx 30.5$

m + 0.5

$m + 0.5$

\sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

Если вы не можете указать обстоятельства, при которых это имеет место , пожалуйста, не называйте это эмпирическим правилом в каком-либо общем смысле. Цифра 30 является абсолютно произвольной (обычно либо слишком слабой, либо слишком сильной), и эта цифра 30 также появляется в вашем случае, я считаю, простым совпадением.

— Glen_b

@Glen_b «30» не было даже совпадением - я просто использовал его, чтобы привести числовой пример. Я не возражаю против этого вопроса, мне не нравятся «практические правила» (особенно когда они сомнительны). Я внес некоторые изменения в свой ответ. Спасибо за вклад.

— Алекос Пападопулос

@Glen_b Спасибо за возможно нестационарную (т.е. долгую) память!

— Алекос Пападопулос