ANOVA предположение нормальность / нормальное распределение остатков

На странице Википедии в ANOVA перечислены три предположения , а именно:

• Независимость случаев - это предположение модели, которая упрощает статистический анализ.
• Нормальность - распределение остатков нормальное.
• Равенство (или «однородность») дисперсий, называемых гомоскедастичностью ...

Интересным моментом здесь является второе предположение. Несколько источников перечисляют это предположение по-разному. Некоторые говорят о нормальности исходных данных, некоторые утверждают об остатках.

Несколько вопросов всплывают:

• Являются ли нормальность и нормальное распределение остатков одним и тем же человеком (основываясь на записи в Википедии, я бы сказал, что нормальность - это свойство, и оно не относится непосредственно к остаткам (но может быть свойством остатков (глубоко вложенный текст в скобках, причудливый)))?
• если нет, какое предположение следует придерживаться? Один? Обе?
• если предположение о нормально распределенных невязках является правильным, делаем ли мы серьезную ошибку, проверяя только гистограмму необработанных значений на нормальность?

Давайте предположим, что это модель с фиксированными эффектами . (На самом деле совет не меняется для моделей со случайными эффектами, он становится немного сложнее.)

1. Нет, нормальность и нормальное распределение остатков не совпадают . Предположим, вы измерили урожайность с урожая с внесением удобрений и без него. На участках без удобрений урожайность варьировалась от 70 до 130. На двух участках с удобрениями урожай варьировался от 470 до 530. Распределение результатов сильно ненормальное: оно сгруппировано в двух местах, связанных с внесением удобрений. Предположим, что в дальнейшем средняя доходность составляет 100 и 500 соответственно. Тогда все остатки колеблются от -30 до +30. Они могут (или не могут) нормально распределяться, но, очевидно, это совершенно другое распределение.

2. Распределение остатков имеет значение , потому что они отражают случайную часть модели. Также обратите внимание, что значения p вычисляются из статистики F (или t) и зависят от остатков, а не от исходных значений.

3. Если в данных есть существенные и важные эффекты (как в этом примере), то вы можете сделать «серьезную» ошибку . К счастью, вы могли бы сделать правильное определение: то есть, просмотрев необработанные данные, вы увидите смесь распределений, и это может выглядеть нормально (или нет). Дело в том, что то, что вы ищете, не имеет значения.

Остатки ANOVA не должны быть где-то близко к нормальному, чтобы соответствовать модели. Тем не менее, почти нормальность остатков важна для того, чтобы значения p, вычисленные по F-распределению, были значимыми.

Стандартный Классический односторонний ANOVA можно рассматривать как расширение классического «2-выборочного Т-теста» до «n-выборочного Т-теста». Это видно из сравнения одностороннего ANOVA только с двумя группами с классическим 2-образным T-тестом.

Я думаю, что вас смущает то, что (согласно предположениям модели) остатки и необработанные данные ОБА обычно распределяются. Однако необработанные данные состоят из нормальных распределений с различными средними значениями (если только все эффекты не являются одинаковыми), но с одинаковой дисперсией. Остатки, с другой стороны, имеют такое же нормальное распределение . Это вытекает из третьего предположения о гомоскедастичности.

Это связано с тем, что нормальное распределение можно разложить на среднее и дисперсионные компоненты. Если имеет нормальное распределение со средним значением µ j и дисперсию σ 2 можно записать в виде Y i j = μ j + σ ϵ i j, где ϵ i j имеет стандартное нормальное распределение.$Y_{ij}$$\mu_{j}$$\sigma^2$$Y_{ij}=\mu_{j}+\sigma\epsilon_{ij}$$\epsilon_{ij}$

$\epsilon_{ij}$

$Y_{ij}$

$p$$n_{j}$$F = \frac{SS_{b} / df_{b}}{SS_{w} / df_{w}}$

$SS_{b} = \sum_{j=1}^{p}{n_{j} (M - M_{j}})^{2}$

$SS_{w} = \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n_{j}}{(y_{ij} - M_{j})^{2}}$

$F$$F$$SS_{b} / df_{b}$$SS_{w} / df_{w}$$\chi^{2}$$df_{b}$$df_{w}$$SS_{b}$$SS_{w}$$0$$M-M_{j}$$y_{ij}-M_{j}$

$y_{i(j)} - M_{j}$$Y = \mu_{j} + \epsilon = \mu + \alpha_{j} + \epsilon$$y_{i(j)} - M$$Y = \mu + \epsilon$$M - M_{j}$

$H_{0}$$M$$y_{i(j)} - M_{j}$$M - M_{j}$