Пример распределения, где большой размер выборки необходим для центральной предельной теоремы

Некоторые книги утверждают , образец размер размер 30 или выше , необходимо для центральной предельной теоремы , чтобы дать хорошее приближение для $\bar{X}$ .

Я знаю, что этого недостаточно для всех дистрибутивов.

Я хотел бы увидеть некоторые примеры распределений, где даже при большом размере выборки (возможно, 100 или 1000 или выше) распределение среднего значения выборки все еще довольно искажено.

Я знаю, что видел такие примеры раньше, но не могу вспомнить, где и не могу их найти.

Некоторые книги утверждают , образец размер размер 30 или выше , необходимо для центральной предельной теоремы , чтобы дать хорошее приближение для .$\bar{X}$

Это общее правило практически бесполезно. Существуют ненормальные распределения, для которых n = 2 подойдет, и ненормальные распределения, для которых гораздо больший недостаточен - поэтому без явного ограничения обстоятельств правило вводит в заблуждение. В любом случае, даже если бы это было правдой, требуемое n будет варьироваться в зависимости от того, что вы делаете. Часто вы получаете хорошие аппроксимации вблизи центра распределения при малых n , но для получения достойного приближения в хвосте нужно гораздо большее n .$n$$n$$n$$n$

Изменить: см. Ответы на этот вопрос для многочисленных, но, по-видимому, единодушных мнений по этому вопросу, а также некоторые хорошие ссылки. Я не буду обдумывать этот вопрос, поскольку вы уже четко это понимаете.

Я хочу увидеть некоторые примеры распределений, где даже при большом размере выборки (возможно, 100 или 1000 или выше) распределение среднего значения выборки все еще довольно искажено.

Примеры относительно легко построить; Один простой способ - найти ненормальное делимое на бесконечность распределение и разделить его на части. Если у вас есть тот, который будет приближаться к нормальному, когда вы будете усреднять или суммировать его, начните с границы «близко к нормальному» и делите ее столько, сколько хотите. Так, например:

Рассмотрим гамма-распределение с параметром формы . Возьмите масштаб как 1 (масштаб не имеет значения). Допустим, вы считаете гамму ( α 0 , 1 ) просто «достаточно нормальной». Тогда распределение , для которого необходимо получить 1000 наблюдений , чтобы быть достаточно нормальным имеет Gamma ( α 0 / 1000 , 1 ) распределение.$α$$\text{Gamma}(α_0,1)$$\text{Gamma}(α_0/1000,1)$

Так что, если вы чувствуете, что гамма с является просто «достаточно нормальной» -$\alpha=20$

Затем разделите на 1000, чтобы получить α = 0,02 :$\alpha=20$$\alpha = 0.02$

В среднем 1000 из них будут иметь форму первого pdf (но не его масштаб).

$\sigma/\sqrt n$

точка зрения @ whuber о загрязненных дистрибутивах очень хорошая; возможно, стоит попробовать какую-то симуляцию с этим случаем и посмотреть, как обстоят дела со многими такими образцами.

$\sigma$$\sigma$$t$$\chi^2$$t$$t$$n=30$$s^2$$\bar{X}$

Вы можете найти этот документ полезным (или хотя бы интересным):

http://www.umass.edu/remp/Papers/Smith&Wells_NERA06.pdf

Исследователи из UMass фактически провели исследование, подобное тому, что вы просите. При каком размере выборки определенные распределенные данные соответствуют нормальному распределению из-за CLT? По-видимому, многие данные, собранные для психологических экспериментов, не распределены нормально, поэтому дисциплина в значительной степени полагается на CLT, чтобы сделать какие-либо выводы по их статистике.

$\alpha = 0.05$

Table 2. Percentage of replications that departed normality based on the KS-test. 
 Sample Size 
           5   10   15   20   25  30 
Normal   100   95   70   65   60  35 
Uniform  100  100  100  100  100  95 
Bimodal  100  100  100   75   85  50

Как ни странно, 65 процентов нормально распределенных данных были отклонены с размером выборки 20, и даже с размером выборки 30, 35% все еще были отклонены.

Затем они протестировали несколько сильно искаженных дистрибутивов, созданных с использованием метода мощности Флейшмана:

$Y = aX + bX^2 +cX^3 + dX^4$

X представляет значение, полученное из нормального распределения, в то время как a, b, c и d являются константами (обратите внимание, что a = -c).

Они провели испытания с размерами выборки до 300

Skew  Kurt   A      B      C       D 
1.75  3.75  -0.399  0.930  0.399  -0.036 
1.50  3.75  -0.221  0.866  0.221   0.027 
1.25  3.75  -0.161  0.819  0.161   0.049 
1.00  3.75  -0.119  0.789  0.119   0.062 

Они обнаружили, что при самых высоких уровнях перекоса и курта (1,75 и 3,75), что размеры выборки 300 не дают средств выборки, которые следуют нормальному распределению.

К сожалению, я не думаю, что это именно то, что вы ищете, но я наткнулся на это и нашел это интересным, и подумал, что вы тоже можете.