Предположим, что и являются функцией плотности и функцией распределения стандартного нормального распределения.Φ ( ⋅ )
Как можно вычислить интеграл:
Предположим, что и являются функцией плотности и функцией распределения стандартного нормального распределения.Φ ( ⋅ )
Как можно вычислить интеграл:
Ответы:
Более условное обозначение
Это можно найти, дифференцируя интеграл по и , получая элементарные интегралы, которые можно выразить в замкнутой форме:
Эта система может быть интегрирована, начиная с начальным условием = ∫ Ф ( х ) φ ( х ) г х = 1 / 2 , чтобы получить данное решение (которое легко проверяется путем дифференцирования).
Пусть и Y - независимые нормальные случайные величины с а Y - стандартная нормальная случайная величина. Тогда P { X ≤ Y ∣ Y = w } = P { X ≤ w } = Φ ( w - aИтак, используя закон полной вероятности, получаем, что P{X≤Y}=∫ ∞ - ∞ P{X≤Y∣Y=w}ϕ(w)
Вот другое решение: мы определяем
что подразумевает