Как я могу вычислить


41

Предположим, что и являются функцией плотности и функцией распределения стандартного нормального распределения.Φ ( )ϕ()Φ()

Как можно вычислить интеграл:

Φ(wab)ϕ(w)dw

5
Это все хорошо. Первой ссылкой на более общий результат, который включает этот результат, является Эллисон (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); см. следствие 1 теоремы 2.

Ответы:


48

Более условное обозначение

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

Это можно найти, дифференцируя интеграл по μ и σ , получая элементарные интегралы, которые можно выразить в замкнутой форме:

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

Эта система может быть интегрирована, начиная с начальным условием = Ф ( х ) φ ( х ) г х = 1 / 2 , чтобы получить данное решение (которое легко проверяется путем дифференцирования).y(0,1)Φ(x)ϕ(x)dx1/2


4
Я дважды проверил ответ с помощью числовой интеграции и контурирования соотношений для , 0 < σ 2 : было достигнуто согласие по одиннадцати значимым цифрам во всем этом диапазоне. 2μ20<σ2
whuber

вау, умное решение.
Cam.Davidson.Pilon

2
Я думаю, что это можно сделать почти путем проверки. Первое слагаемое под интегралом является равномерной [0,1] случайной величиной. Так как нормальный pdf симметричен, интеграл должен быть 12
Soakley

1
@soakley Ваш подход работает для , но не ясно, как он будет применяться к другим аргументам y . Y(0,1)Y
whuber

1
@whuber Извините за непонимание, но как только мы получим две закрытые формы для производной и начального условия, как мы перейдем к окончательному решению? Другими словами, что вы делали с выражениями замкнутой формы для производных и начальных условий?
user106860

63

Пусть и YИксY - независимые нормальные случайные величины с а Y - стандартная нормальная случайная величина. Тогда P { X Y Y = w } = P { X w } = Φ ( w - aИкс~N(a,б2)YИтак, используя закон полной вероятности, получаем, что P{XY}=- P{XYY=w}ϕ(w)

п{ИксY|Yзнак равновес}знак равноп{Иксвес}знак равноΦ(вес-aб),
Теперь P { X Y } = P { X - Y 0 } можно выразить через Φ (
п{ИксY}знак равно-п{ИксY|Yзнак равновес}φ(вес)dвесзнак равно-Φ(вес-aб)φ(вес)dвес,
п{ИксY}знак равноп{Икс-Y0} , отметив, что X - Y N ( a , b 2 + 1 ) , и, таким образом, мы получаем - Φ ( w - aΦ()Икс-Y~N(a,б2+1) что совпадает с результатом в ответе Уубера.
-Φ(вес-aб)φ(вес)dвесзнак равноΦ(-aб2+1)

2

Вот другое решение: мы определяем

я(γ)знак равно-Φ(ξИкс+γ)N(Икс|0,σ2)dИкс,
γзнак равно-ξμя(γ)я(0)знак равно0γ
dяdγзнак равно-N((ξИкс+γ)|0,1)N(Икс|0,σ2)dИксзнак равно-12πехр(-12(ξИкс+γ)2)12πσ2ехр(-Икс22σ2)dИкс,
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ2)=ax2+2γξ=bx+γ2=c=a(xb2a)2+(cb24a)(cb24a)=γ24γ2ξ24(ξ2+σ2)=γ2(1ξ2ξ2+σ2)=γ2(11+ξ2σ2)
dIdγ=12πσexp(12(cb24a))2πaa2πexp(12a(xb2a)2)dx=12πσexp(12(cb24a))2πa=12πσ2aexp(12(cb24a))=12π(1+σ2ξ2)exp(12γ21+ξ2σ2)

I(γ)=γ12π(1+σ2ξ2)exp(12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

что подразумевает

Φ(ξx)N(x|μ,σ2)dx=I(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.