Отношение суммы нормалей к сумме кубов нормалей

12

Пожалуйста, помогите мне найти предельное распределение (как ) следующего: где - это . $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Арунангшу Бисвас
источник

1

Вы пробовали смотреть на преобразования случайных величин? Например, можно попробовать характерные функции, преобразования Лапласа-Стилтьеса и так далее.

— Стейн

1

Подсказка: числитель и знаменатель асимптотически двумерны нормальны. Вы можете вычислить их моменты напрямую: их средние значения, очевидно, равны нулю, дисперсия числителя равна

n

$n$ , дисперсия знаменателя равна

15 n

$15n$ , а ковариация равна

3 n

$3n$ . (Таким образом, корреляция равна

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$ .) Чтобы найти предельное распределение, выразите любую двумерную нормаль с нулевым средним

(U, V)

$(U,V)$ в форме

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$ для независимого нуля. - означает нормали

A

$A$ и

B

$B$ и постоянную

β

$\beta$ , затем обратите внимание, что отношение

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$ является сдвинутым масштабным распределением Коши.

— whuber

2

Если формулировка была

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$ где

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$ и

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$ являются независимыми, это было бы просто классическим учебным упражнением. Вы используете тот факт, что

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$ и мы можем заключить, что

U

$U$ асимптотически масштабируется по распределению Коши.

Но в вашей формулировке мы не можем применить теорему из-за зависимости. Моя Монте-Карло предполагает, что предельное распределение невырождено и не имеет первого момента и не симметрично. Мне было бы интересно узнать, есть ли явное решение этой проблемы. Я чувствую, что решение может быть написано только с точки зрения процесса Винера. $U_n$

[РЕДАКТИРОВАТЬ] После намека на то, что Уабер, обратите внимание, что

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$ где , отметив, что и . (моменты стандартной нормали, для четного ) Тогда по теореме о непрерывном отображении имеем Отметив, что мы можем написать где и независимо от , мы заключаем, что где

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Юлий
источник

0

Некоторые комментарии, а не полное решение. Это долго для комментария, но на самом деле только комментарий. Некоторые свойства решения. Поскольку являются стандартным нормальным, то есть симметричным (около нуля) распределением, также будет иметь симметричные распределения, а суммы (независимых) симметричных rv будут симметричными. Так что это соотношение с числителем и знаменателем, оба симметричны, поэтому будет симметричным. Знаменатель будет иметь непрерывную плотность, которая является положительной в нуле, поэтому мы ожидаем, что отношение будет отсутствовать (это общий результат, что если является случайной величиной с непрерывной плотностью, положительной в нуле, то будет не иметь ожидание . Видеть $X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Я слышал, что соотношения или инверсии случайных величин часто проблематичны, поскольку не имеют ожиданий. Это почему? ). Но здесь существует зависимость между числителем и знаменателем, которая усложняет дело ... (Очевидно, здесь нужно больше думать).

В интересной статье https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176991795 показано, что выше, куб стандартных нормальных переменных, имеет неопределенное распределение «в смысле гамбургера», то есть не определяется своими моментами! Таким образом, приведенный выше комментарий об использовании преобразований может указывать на трудный путь для продолжения! $x_i^3$

— Къетил б Халворсен
источник