Если A и B связаны с C, почему A и B не обязательно связаны?

Я знаю эмпирически, что это так. Я только что разработал модели, которые сталкиваются с этой загадкой. Я также подозреваю, что это не обязательно ответ да / нет. Я имею в виду, что если и A, и B соотносятся с C, это может иметь некоторое значение в отношении корреляции между A и B. Но это значение может быть слабым. Это может быть просто указатель направления и ничего больше.

Вот что я имею в виду ... Допустим, у A и B есть корреляция 0,5 с C. Учитывая это, корреляция между A и B вполне может быть 1,0. Я думаю, что это также может быть 0,5 или даже ниже. Но я думаю, что вряд ли это будет негативно. Согласны ли вы с этим?

Кроме того, есть ли смысл, если вы рассматриваете стандартный коэффициент корреляции Пирсона или вместо этого коэффициент корреляции Спирмена (ранг)? Мои недавние эмпирические наблюдения были связаны с коэффициентом корреляции Спирмена.

Поскольку корреляция является математическим свойством многомерных распределений, некоторое понимание может быть получено исключительно посредством вычислений, независимо от статистического происхождения этих распределений.

Для корреляции Пирсона , рассмотрят multinormal переменных , , . С ними полезно работать, потому что любая неотрицательно определенная матрица на самом деле является ковариационной матрицей некоторых мультинормальных распределений, что позволяет решить вопрос о существовании. Если мы будем придерживаться матриц с по диагонали, недиагональные элементы ковариационной матрицы будут их корреляциями. Запись корреляции и как , корреляции и как и корреляции и какY Z 1 X Y ρ Y Z τ X Z $X$$Y$$Z$$1$$X$$Y$$\rho$$Y$$Z$$\tau$$X$$Z$$\sigma$ , мы вычислим это

• $1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$ (потому что это определитель корреляционной матрицы и он не может быть отрицательным).

• Когда это означает, что . Другими словами, когда оба значения и велики, и должны иметь ненулевую корреляцию.ρ 2 + τ 2 ≤ 1 ρ τ X $\sigma = 0$$\rho^2 + \tau^2 \le 1$$\rho$$\tau$$X$$Z$

• Если , то возможно любое неотрицательное значение (от до конечно).σ 0 $\rho^2 = \tau^2 = 1/2$$\sigma$$0$$1$

• Когда , допустимы отрицательные значения . Например, когда , может быть где-то между и .сг р = τ = 1 / 2 сг - 1 / 2 $\rho^2 + \tau^2 \lt 1$$\sigma$$\rho = \tau = 1/2$$\sigma$$-1/2$$1$

Эти соображения подразумевают, что действительно существуют некоторые ограничения на взаимные корреляции. Ограничения (которые зависят только от неотрицательной определенности матрицы корреляции, а не от фактических распределений переменных) могут быть ужесточены в зависимости от предположений об одномерных распределениях. Например, легко увидеть (и доказать), что когда распределения и не принадлежат одному семейству масштабов расположения, их корреляции должны быть строго меньше . (Доказательство: соотношение подразумевает, что и линейно связаны как)Y 1 ± 1 X $X$$Y$$1$$\pm 1$$X$$Y$

Что касается ранговых корреляций Спирмена , рассмотрим три тривариатных наблюдения , и of . Их взаимные ранговые корреляции равны , и . Таким образом , даже знак ранга корреляции и могут быть противоположен признаки корреляции и и и .( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 2 , 3 ) ( X , Y , Z ) 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 Y Z X Y X $(1,1,2)$$(2,3,1)$$(3,2,3)$$(X, Y, Z)$$1/2$$1/2$$-1/2$$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Z$

Я сейчас на ежегодной рыбалке. Существует связь между временем, в течение которого я ловлю рыбу, и количеством рыбы, которую я ловлю. Существует также корреляция между размером приманки, которую я использую, и количеством рыбы, которую я ловлю. Не существует корреляции между размером приманки и временем суток.

$V_A=A-E(A)$$V_B=B-E(B)$$V_A$$V_B$$V_C$$\pi/2$$\pi$$V_A$$V_B$$V_C$$V_A$$V_B$

Как дополнение к ответу whuber: представленная формула

$1 + 2 \rho \sigma \tau - \left(\rho^2 + \sigma^2 + \tau^2\right) \ge 0$

может быть преобразовано в следующее неравенство (Olkin, 1981):

$\sigma\tau - \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)} \le \rho \le \sigma\tau + \sqrt{(1-\sigma^2)(1-\tau^2)}$

$\rho$

Олкин И. (1981). Ограничения по диапазону для матриц продукта-момент корреляции. Psychometrika, 46, 469-472. DOI: 10.1007 / BF02293804

Я думаю, что лучше спросить "почему они должны быть соотнесены?" или, возможно, "Почему должна быть какая-то конкретная корреляция?"

Следующий код R показывает случай, когда x1 и x2 оба коррелированы с Y, но имеют 0 корреляции друг с другом

x1 <- rnorm(100)
x2  <- rnorm(100)
y <- 3*x1 + 2*x2 + rnorm(100, 0, .3)

cor(x1,y)
cor(x2,y)
cor(x1,x2)

Корреляция с Y может быть усилена путем уменьшения .3 до .1 или чего-либо еще

Я оставлю статистическую демонстрацию тем, кто лучше подходит для меня ... но интуитивно скажу, что событие A генерирует процесс X, который способствует генерации события C. Тогда A соотносится с C (через X). B, с другой стороны, генерирует Y, который также формирует C. Следовательно, A коррелируется с C, B коррелируется с C, но A и B не коррелируются.

Для тех, кто хочет немного интуиции, корреляция может рассматриваться как косинус некоторого угла. Итак, рассмотрим три вектора в 3D, скажем, A, B и C, каждый из которых соответствует одной переменной. Вопрос состоит в том, чтобы определить диапазон возможных углов между A и C, когда угол между A и B, а также угол между B и C известны. Для этого вы можете играть с онлайн-инструментом без установки какого-либо программного обеспечения. Просто перейдите на страницу http://www.montefiore.ulg.ac.be/~pierard/chained_correlations.php

Давайте возьмем один пример:

A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}

B={x1,x2,x3,0,0,0,0,0,0}

C={0,0,0,x4,x5,x6,0,0,0}

Для некоторых x, A и B будут иметь значительную корреляцию, аналогично A и C также будут иметь значительную корреляцию, но корреляция B и C не будет существенной.

Таким образом, это не обязательно верно, что если A и B коррелировали, а A и C коррелировали, то B и C также коррелировали.

Примечание: для глубокого понимания, пожалуйста, подумайте об этом примере на больших данных.