Нахождение известного числа центров окружностей, которые максимизируют количество точек на фиксированном расстоянии

У меня есть набор двумерных данных, где я хочу найти центры с указанным количеством центров окружностей ( ), которые максимизируют общее количество точек на указанном расстоянии ( ).$N$$R$

например, у меня есть 10000 точек данных и я хочу найти центры из окружностей, которые захватывают как можно больше точек в радиусе . 5 центров и радиус 10 приведены заранее, а не по данным.N = 5 R = $(X_i, Y_i)$$N=5$$R=10$

Наличие точки данных внутри круга является двоичным или / или суждением. Если , нет никакой разницы в значении для точки на расстоянии 11 единиц от 100 единиц на расстоянии, так как они оба> 10. Аналогично для того, чтобы быть в пределах круга, нет никакого дополнительного значения для того, чтобы быть около центра против края , Точка данных находится либо в одном из кругов, либо вне.$R=10$

Есть ли хороший алгоритм, который можно использовать для решения этой проблемы? Похоже, это относится к методам кластеризации, но вместо минимизации среднего расстояния функция «расстояния» равна 0, если точка находится в пределах любой из точек, и 1 - в противном случае.$R$$N$

Я предпочел бы найти способ сделать это в R, но любой подход был бы оценен.

Это вариация k-средних. Радиус центров не имеет значения, если их считать равными.

Ссылки:

• http://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering
• http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/kmeans.html

Центры окружностей будут расположены в местах наибольшей вероятности точек.

Классическая процедура K-средних:

1. установить количество кластеров до 5
2. поместить каждую точку в случайный кластер
3. для каждого кластера рассчитать среднее положение
4. для каждой точки рассчитайте расстояние до каждой новой средней позиции
5. ассоциировать членство с ближайшим кластером
6. повторять до завершения (итерации, изменение положения или другая метрика ошибки)

Опции:

• Вы можете использовать некоторую недостаточную релаксацию после 3, когда вы медленно переводите среднее положение в новое положение.
• это дискретная система, поэтому она не сходится идеально. Иногда это происходит, и вы можете закончить, когда очки перестают менять членство, но иногда они просто немного покачиваются.
• Если вы создаете свой собственный код (как это должно делать большинство людей), то вы можете использовать приведенное выше P-k-средство в качестве отправной точки и внести некоторые изменения в EM, основываясь исключительно на процентах точек и полностью охваченных кружками.

Почему K-means решает проблему:

• Это эквивалентно подгонке Гауссовой модели смеси, где ковариации компонентов равны. Центры компонентов смеси будут расположены в местах наибольшего ожидания точек. Кривые постоянной вероятности будут представлять собой круги. Это алгоритм EM, поэтому он имеет асимптотическую сходимость. Членство жесткое, а не мягкое.
• Я думаю, что если фундаментальное предположение о модели смеси компонентов с равной дисперсией достаточно «близко», что бы это ни значило, этот метод подходит. Если вы просто случайным образом распределяете баллы, это вряд ли подойдет.

Должен быть какой-то аналог «Пуассона с нулевым надуванием», где есть негауссовский компонент, который улавливает равномерное распределение.

Если вы хотели «настроить» вашу модель и были уверены, что было достаточно точек выборки, то вы могли бы инициализировать с помощью k-средних, а затем сделать расширенный регулятор k-средних, который удаляет точки вне радиусов окружностей из соревнования. Это немного нарушило бы ваши круги, но могло бы немного улучшить производительность, учитывая данные.

У кого-то, вероятно, есть лучший формальный алгоритм, но вот один метод грубой силы (хак?). Я бы использовал один из шестиугольных алгоритмов биннинга для вычисления 2D гистограммы. Как hexbinв R.

Я бы использовал размер шестиугольника, который примерно описал бы ваш круг радиуса R, а затем отсортировал бы по верхним N корзинам. Если у вас есть Nчеткие далекие контейнеры, отлично. Теперь один из способов - это перемещаться по кругу локально по шкале 2 * R (в направлениях x и y) от центра шестиугольников верхней плотности. Вычислительные плотности могут примерно оптимизировать положение локально. Это будет учитывать тот факт, что шестиугольники не были движущимся окном относительно фиксированного начала.

Если все верхние корзины находятся рядом, у вас должен быть более разумный способ перемещения ваших кругов в этой окрестности.

Обратите внимание, что я могу вспомнить несколько угловых случаев, когда такая наивная стратегия потерпела неудачу. Тем не менее, просто отправная точка.

Между тем, я надеюсь, что у кого-то есть лучший алгоритм.