Отбор проб из двумерного распределения с известной плотностью с использованием MCMC

Я попытался смоделировать из двумерной плотности используя алгоритмы Метрополиса в R, и мне не повезло. Плотность может быть выражена как , где - распределение Сингх-Маддала$p(x,y)$$p(y|x)p(x)$$p(x)$

$p(x)=\dfrac{aq x^{a-1}}{b^a (1 + (\frac{x}{b})^a)^{1+q}}$

с параметрами $a$ , $q$ , $b$ и $p(y|x)$ является логарифмически нормальным, с логарифмическим значением как дробью $x$ , а log-sd - константой. Чтобы проверить, является ли мой образец тем, который я хочу, я посмотрел на предельную плотность $x$ , которая должна быть $p(x)$ . Я пробовал разные алгоритмы Metropolis из пакетов R MCMCpack, mcmc и dream. Я отказался от выжигания, использовал прореживание, использовал образцы размером до миллиона, но полученная предельная плотность никогда не была той, которую я поставил.

Вот последняя версия моего кода, который я использовал:

logvrls <- function(x,el,sdlog,a,scl,q.arg) {
    if(x[2]>0) {
         dlnorm(x[1],meanlog=el*log(x[2]),sdlog=sdlog,log=TRUE)+
         dsinmad(x[2],a=a,scale=scl,q.arg=q.arg,log=TRUE)
    }
    else -Inf    
}

a <- 1.35
q <- 3.3
scale <- 10/gamma(1 + 1/a)/gamma(q - 1/a)*  gamma(q) 

Initvrls <- function(pars,nseq,meanlog,sdlog,a,scale,q) {
    cbind(rlnorm(nseq,meanlog,sdlog),rsinmad(nseq,a,scale,q))
}

library(dream)
aa <- dream(logvrls,
        func.type="logposterior.density",
        pars=list(c(0,Inf),c(0,Inf)),
        FUN.pars=list(el=0.2,sdlog=0.2,a=a,scl=scale,q.arg=q),
        INIT=Initvrls,
        INIT.pars=list(meanlog=1,sdlog=0.1,a=a,scale=scale,q=q),
        control=list(nseq=3,thin.t=10)
        )

Я остановился на пакете мечты, так как он сэмплирует до схождения. Я проверил, имею ли я правильные результаты тремя способами. Используя статистику KS, сравнивая квантили и оценивая параметры распределения Сингх-Маддала с максимальной вероятностью из полученной выборки:

ks.test(as.numeric(aa$Seq[[2]][,2]),psinmad,a=a,scale=scale,q.arg=q)

lsinmad <- function(x,sample)
    sum(dsinmad(sample,a=x[1],scale=x[2],q.arg=x[3],log=TRUE))
 optim(c(2,20,2),lsinmad,method="BFGS",sample=aa$Seq[[1]][,2])

 qq <- eq(0.025,.975,by=0.025)   
 tst <- cbind(qq,
              sapply(aa$Seq,function(l)round(quantile(l[,2],qq),3)),
              round(qsinmad(qq,a,scale,q),3))
 colnames(tst) <- c("Quantile","S1","S2","S3","True")

 library(ggplot2)
 qplot(x=Quantile,y=value,
       data=melt(data.frame(tst),id=1), 
       colour=variable,group=variable,geom="line")

Когда я смотрю на результаты этих сравнений, статистика KS почти всегда отвергает нулевую гипотезу о том, что выборка из распределения Сингх-Маддала с предоставленными параметрами. Оцененные параметры максимального правдоподобия иногда приближаются к его истинным значениям, но обычно слишком далеко от зоны комфорта, чтобы допустить, что процедура отбора проб была успешной. То же самое для квантилей, эмпирических квантилей не слишком далеко, но слишком далеко.

У меня вопрос, что я делаю не так? Мои собственные гипотезы:

1. MCMC не подходит для этого типа отбора проб
2. MCMC не может сходиться по теоретическим причинам (функция распределения не удовлетворяет требуемым свойствам, какими бы они ни были)
3. Я не правильно использую алгоритм Метрополис
4. Мои тесты распространения не верны, так как у меня нет независимой выборки.

Я думаю, что порядок правильный, но метки, назначенные p (x) и p (y | x), были неправильными. Исходная проблема состояний p (y | x) лог-нормальна, а p (x) Сингх-Маддала. Так что это

1. Создать X из Сингх-Маддала и

2. генерировать Y из логарифмического нормального, имеющего среднее значение, которое является частью сгенерированного X.

На самом деле, вы не должны делать MCMC, так как ваша проблема намного проще. Попробуйте этот алгоритм:

Шаг 1: сгенерируйте X из логарифма

Шаг 2: Сохраняя этот X фиксированным, сгенерируйте Y из Сингх Маддала.

Вуаля! Образец готов!