Объяснение конечного поправочного коэффициента

Я понимаю, что, когда выборка из конечной совокупности и нашего размера выборки составляет более 5% совокупности, нам необходимо скорректировать среднее значение выборки и стандартную ошибку, используя эту формулу:

$\hspace{10mm} FPC=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$

Где - размер популяции, а - размер выборки.$N$$n$

У меня есть 3 вопроса по этой формуле:

1. Почему порог установлен на 5%?
2. Как была получена формула?
3. Существуют ли другие онлайн-ресурсы, которые подробно объясняют эту формулу, кроме этой статьи?

Порог выбирается таким, чтобы он обеспечивал сходимость гипергеометрического распределения ( - это ее SD) вместо биномиального распределения (для выборки с заменой) к нормальному распределению (это центральная предельная теорема, см., Например,нормальную кривую, центральную предельную теорему и неравенства Маркова и Чебычева для Случайные величины). Другими словами, когдаn/N≤0,05(т. Е.не слишком велико по сравнению с), FPC можно безопасно игнорировать; это легко увидетькак фактор коррекции эволюционирует с переменнымпри фиксированномN: сN=10,000, мы имеемFPC$\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$n/N\leq 0.05$N $n$$N$$n$$N$$N=10,000$ , когда п = 10 , а FPC = .3162 , когда п = 9 , 000 . Когда N → ∞ , FPC приближается к 1, и мы близки к ситуации выборки с заменой (т. Е. Как с бесконечной населенностью).$\text{FPC}=.9995$$n=10$$\text{FPC}=.3162$$n=9,000$$N\to\infty$

Чтобы понять эти результаты, хорошей отправной точкой является чтение некоторых онлайн-учебников по теории выборки, где выборка производится без замены ( простая случайная выборка ). Этот онлайн-учебник по непараметрической статистике содержит иллюстрацию по вычислению ожиданий и дисперсии в целом.

Вы заметите, что некоторые авторы используют вместо N - 1 в знаменателе FPC; на самом деле, это зависит от того, работаете ли вы с выборкой или статистикой популяции: для дисперсии это будет N вместо N - 1, если вас интересует S 2, а не σ 2 .$N$$N-1$$N$$N-1$$S^2$$\sigma^2$

Что касается онлайн-ссылок, я могу предложить вам

• Оценка и статистический вывод
• Новый взгляд на вывод для гипергеометрического распределения
• Конечная выборка населения с применением к гипергеометрическому распределению
• Простая случайная выборка