Центральная предельная теорема и закон больших чисел

У меня есть вопрос новичка относительно центральной предельной теоремы (CLT):

Мне известно, что CLT утверждает, что среднее значение случайных величин iid приблизительно нормально распределено (для , где - индекс слагаемых), или что стандартизированная случайная величина будет иметь стандартное нормальное распределение. $n \to \infty$ $n$

Теперь закон большого числа гласит, что среднее значение случайных величин iid сходится (по вероятности или почти наверняка) к их ожидаемому значению.

Чего я не понимаю, так это: если, как утверждает CLT, среднее значение приблизительно нормально распределено, как тогда оно может одновременно сходиться к ожидаемому значению?

Для меня конвергенция подразумевает, что со временем вероятность того, что среднее значение примет значение, которое не является ожидаемым, почти равна нулю, следовательно, распределение не будет действительно нормальным, а почти нулевым везде, кроме ожидаемого значения.

Любое объяснение приветствуется.

— Pegah
источник

Ключ к ответу лежит в том, где слово «стандартизированный» появляется в вашем вопросе.

— whuber

Извините, но я не уверен, что понимаю.

— Pegah

Подсказка: одна теорема о

который имеет дисперсию

, другой около

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

с дисперсией

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Дилип Сарвейт

Центральная предельная теорема о путешествии, а строгий закон больших чисел - о пункте назначения.

— кардинал

На этом рисунке показаны распределения средних значений (синий), (красный) и (золотой) независимых и идентично распределенных ( iid ) нормальных распределений (единичной дисперсии и среднего ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Три пересекающихся PDF-файла

$n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

$0$ $\mu$

$n$ $n$

— Whuber
источник

@whuber довольно хороший ответ, я буду признателен за некоторые объяснения того, что мы понимаем под слабым законом большого числа.

— Субхаш С. Давар

@subhash См. en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— whuber