Линейная модель с лог-преобразованным откликом против обобщенной линейной модели с лог-связью

В этой статье под названием «ВЫБОР СРЕДИ ОБОБЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ, ПРИМЕНЯЕМЫХ К МЕДИЦИНСКИМ ДАННЫМ» авторы пишут:

В обобщенной линейной модели среднее значение преобразуется функцией связи вместо преобразования самого отклика. Два метода преобразования могут привести к совершенно разным результатам; например, среднее значение логарифмически преобразованных ответов не совпадает с логарифмом среднего ответа . В целом, первое не может быть легко преобразовано в средний ответ. Таким образом, преобразование среднего значения часто позволяет легче интерпретировать результаты, особенно в том смысле, что средние параметры остаются в том же масштабе, что и измеренные отклики.

Похоже, что они советуют подгонять обобщенную линейную модель (GLM) с логарифмической связью вместо линейной модели (LM) с лог-преобразованным откликом. Я не понимаю преимуществ этого подхода, и он кажется мне довольно необычным.

Моя переменная ответа выглядит нормально распределенной по журналу. Я получаю схожие результаты с точки зрения коэффициентов и их стандартных ошибок при любом подходе.

Тем не менее, мне интересно: если переменная имеет лог-нормальное распределение, не является ли среднее значение лог-преобразованной переменной предпочтительным по сравнению с логарифмом средней нетрансформированной переменной , так как среднее является естественной суммой нормального распределения и журнала -трансформированная переменная нормально распределена, тогда как сама переменная нет?

Хотя может показаться, что среднее значение лог-преобразованных переменных является предпочтительным (поскольку именно так обычно логарифмируется параметризация), с практической точки зрения логарифм среднего значения обычно гораздо более полезен.

Это особенно верно, когда ваша модель не совсем верна, и, если процитировать слова Джорджа Бокса: «Все модели неверны, некоторые полезны»

Предположим, что какое-то количество нормально распределено, скажем, артериальное давление (я не медик!), И у нас две популяции, мужчины и женщины. Можно предположить, что среднее артериальное давление у женщин выше, чем у мужчин. Это точно соответствует вопросу о том, является ли логарифм среднего артериального давления выше у женщин, чем у мужчин. Это не то же самое, что спрашивать, является ли среднее значение логарифмического давления выше у женщин, чем у мужчин .

$\mu_{\ln}$

$\mu = e^{\mu_{\ln} + \sigma_{\ln}^2/2}$

$\sigma^2 = (e^{\sigma^2_{\ln}} -1)e^{2 \mu_{\ln} + \sigma_{\ln}^2}$

Очевидно, что это делает алгебру ужасно сложной, но она все еще работает и означает то же самое.

$\ln(\mu)$$\sigma^2_{\ln}$$\mu_{\ln}$

$\mu_{\ln}$

До сих пор мы предполагали, что кровяное давление обычно является нормальным. Если истинные распределения не совсем логарифмически нормальны, то преобразование данных (как правило) сделает вещи еще хуже, чем выше - так как мы не будем точно знать, что на самом деле означает наш «средний» параметр. Т.е. мы не будем знать, что эти два уравнения для среднего и дисперсии, которые я дал выше, верны. Использование их для преобразования туда-сюда приведет к дополнительным ошибкам.

Вот мои два цента из курса углубленного анализа данных, который я прошел, изучая биостатистику (хотя у меня нет никаких ссылок, кроме заметок моего профессора):

Это сводится к тому, нужно ли вам учитывать линейность и гетероскедастичность (неравные отклонения) в ваших данных, или просто линейность.

Она отмечает, что преобразование данных влияет на предположения о линейности и дисперсии модели. Например, если у ваших остатков есть проблемы с обоими, вы можете рассмотреть преобразование данных, которое потенциально может исправить оба. Преобразование преобразует ошибки и, следовательно, их дисперсию.

Напротив, использование функции связи влияет только на предположение о линейности, а не на дисперсию. Лог берется из среднего значения (ожидаемое значение), и, следовательно, дисперсия остатков не изменяется.

Таким образом, если у вас нет проблемы с непостоянной дисперсией, она предлагает использовать функцию связи вместо преобразования, потому что вы не хотите изменять свою дисперсию в этом случае (вы уже соответствуете предположению).

Если истинный ответ не является симметричным (не распределен как обычно), но логарифмически преобразованный отклик является нормальным, то используется линейная регрессия по трансформированному отклику, а коэффициент экспоненты дает нам соотношение геометрического среднего.

Если истинный ответ симметричен (распределен как обычно), но отношение между пояснительным (X) и ответом не является линейным, но ожидаемое значение логарифма является линейной функцией X, тогда используется GLM с логарифмической связью, а коэффициент экспоненты дает нам отношение среднего арифметического