Центральные моменты симметричных распределений

Я пытаюсь показать, что центральный момент симметричного распределения: равен нулю для нечетных чисел. Так, например, третий центральный моментЯ начал с попытки показать, чтоЯ не уверен, куда идти отсюда, какие-либо предложения? Есть ли лучший способ доказать это?

е_{Икс} (a + Икс) знак равно е_{Икс} (a - Икс)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

Е [(Икс - U)^{3}] знак равно 0,

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

Е [(Икс - U)^{3}] знак равно Е [{Икс}^{3}] - 3 U Е [{Икс}^{2}] + 3 U^{2} Е [Икс] - U^{3},

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— user18262
источник

Подсказка: для простоты предположим, что симметричен относительно . Затем вы можете показать, что , разделив интеграл между и и используя предположение о симметрии. Тогда вы просто должны показать , что для . Это можно сделать снова, разделив интеграл и используя аналогичный аргумент.

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

Но, подсказка , будьте осторожны с предложением @ Procrastinator (+1)! В противном случае вы можете «доказать» что-то ложное! Вам нужно показать, что каждая часть интеграла расщепления конечна. (Если один, другой должен быть также.)

— кардинал

В чем разница между и ?

a

$a$

u

$u$

— Генри

@DilipSarwate Почему бы вам не записать все эти мысли в ответ вместо того, чтобы искать мелочи в комментариях, которые не предназначены для исчерпывающих ответов?

@Macro: позор, правда. Procrastinator теперь присоединился к списку нескольких очень ценных участников (на мой взгляд), которые мы, очевидно, потеряли за последние несколько месяцев (или которые значительно снизили свою активность). С другой стороны, очень приятно видеть ваш недавний всплеск участия! Я надеюсь, что это будет продолжаться.

— кардинал

Этот ответ призван сделать демонстрацию настолько элементарной, насколько это возможно, потому что такие вещи часто доходят до основной идеи. Эти только факты , необходимые (помимо простейшего вида алгебраических манипуляций) являются линейность интеграции (или, что то же самое, ожидания), изменение переменных формулы для интегралов, а аксиомой результатом , что PDF интегрируется до единицы.

Мотивация этой демонстрации заключается в том, что когда симметричен относительно , то вклад любой величины в ожидание будет иметь тот же вес, что и величина , потому что и находятся на противоположных сторонах от и одинаково далеко от него. При условии, что для всех , все отменяется, и ожидание должно быть равно нулю. Соотношение между и , следовательно, является нашей отправной точкой. $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

Заметьте, записав , что симметрия также может быть выражена соотношением $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

для всех . Для любой измеримой функции однозначное изменение переменной с на меняет на , изменяя направление интегрирования, подразумевая $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

Предполагая, что это ожидание существует (то есть интеграл сходится), линейность интеграла подразумевает

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

Рассмотрим нечетные моменты относительно , которые определяются как ожидания , . В этих случаях $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{К}) (Икс - a)^{К} \\ знак равно 2 (Икс - a)^{К}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

именно потому, что нечетно. Применение предыдущего результата дает $k$

0 знак равно \int (г_{К, a} (Икс) - г_{К, a} (2 a - Икс)) е_{Икс} (Икс) d Икс знак равно 2 \int (Икс - a)^{К} е_{Икс} (Икс) d Икс,

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

Поскольку правая часть в два раза больше го момента относительно , деление на показывает, что этот момент равен нулю всякий раз, когда он существует. $k$ $a$ $2$

Наконец, среднее (если оно существует)

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

Еще раз используя линейность и вспоминая, что потому что - это распределение вероятностей, мы можем переставить последнее равенство для чтения $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

с уникальным решением . Поэтому все наши предыдущие вычисления моментов о являются действительно центральными моментами, QED. $\mu_X = a$ $a$

Postword

Необходимость деления на в нескольких местах связана с тем, что существует $2$ группа порядка действующая на измеримые функции (а именно, группа, порожденная отражением в линии вокруг ). В более общем смысле идея симметрии может быть обобщена на действие любой группы. Теория групповых представлений подразумевает, что когда персонаж $2$ $a$ этого действия на функцию не является тривиальным, оно ортогонально тривиальному символу, и это означает, что ожидание функции должно быть нулевым. Отношения ортогональности включают сложение (или интегрирование) по группе, откуда размер группы постоянно появляется в знаменателях: ее мощность, когда она конечна, или ее объем, когда она компактна.

Красота этого обобщения становится очевидной в приложениях с явной симметрией , таких как механические (или квантово-механические) уравнения движения симметричных систем, примером которых является молекула бензола (которая имеет 12-элементную группу симметрии). (Приложение QM здесь наиболее уместно, потому что оно явно рассчитывает ожидания.) Значения физического интереса, которые обычно включают многомерные интегралы тензоров, могут быть вычислены не с большей трудоемкостью, чем здесь, просто зная символы, связанные с подинтегральные. Например, «цвета» различных симметричных молекул - их спектры на разных длинах волн - можно определить ab initio с помощью этого подхода.

— whuber
источник

(+1) В разделе начало «Рассмотрим нечетные моменты о ...», я считаю , что третья строка должна гласить .

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— предполагается нормальным

@Max Да: Спасибо, что внимательно прочитали! (Это сейчас исправлено.)

— whuber