Т-распределение Фиттинга в R: параметр масштабирования

Как мне подобрать параметры t-распределения, то есть параметры, соответствующие «среднему» и «стандартному отклонению» нормального распределения. Я предполагаю, что они называются «среднее» и «масштабирование / степени свободы» для t-распределения?

Следующий код часто приводит к ошибкам «сбой оптимизации».

library(MASS)
fitdistr(x, "t")

Нужно ли сначала масштабировать х или преобразовать в вероятности? Как лучше это сделать?

fitdistrиспользует методы максимального правдоподобия и оптимизации, чтобы найти параметры данного распределения. Иногда, особенно для t-distribution, как заметил @ user12719, оптимизация в виде:

fitdistr(x, "t")

не удается с ошибкой.

В этом случае вы должны помочь оптимизатору, указав начальную точку и нижнюю границу, чтобы начать поиск оптимальных параметров:

fitdistr(x, "t", start = list(m=mean(x),s=sd(x), df=3), lower=c(-1, 0.001,1))

Обратите внимание, df=3это ваша лучшая догадка о том, какой dfможет быть «оптимальность» . После предоставления этой дополнительной информации ваша ошибка исчезнет.

Несколько отрывков, которые помогут вам лучше понять внутреннюю механику fitdistr:

Для нормального, логнормального, геометрического, экспоненциального и пуассоновского распределений используются MLE замкнутой формы (и точные стандартные ошибки), которые startне должны предоставляться.

...

Для следующих именованных распределений разумные начальные значения будут вычислены, если они startопущены или указаны только частично: «Коши», «Гамма», «Логистика», «Отрицательный бином» (параметризованный по mu и размеру), «t» и «weibull». ». Обратите внимание, что эти начальные значения могут быть недостаточно хорошими, если посадка плохая: в частности, они не устойчивы к выбросам, если в распределенном распределении нет длинных хвостов.

$\nu$$t$

$\nu$$t$

set.seed(1234)
n <- 10
x <- rt(n,  df=2.5)

make_loglik  <-  function(x)
    Vectorize( function(nu) sum(dt(x, df=nu,  log=TRUE)) )

loglik  <-  make_loglik(x)
plot(loglik,  from=1,  to=100,  main="loglikelihood function for df     parameter", xlab="degrees of freedom")
abline(v=2.5,  col="red2")

$n$

Давайте попробуем некоторые симуляции:

t_nu_mle  <-  function(x) {
    loglik  <-  make_loglik(x)
    res  <-  optimize(loglik, interval=c(0.01, 200), maximum=TRUE)$maximum
    res   
}

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(10, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)

> mean(nus)
[1] 45.20767
> sd(nus)
[1] 78.77813

Отображение оценки очень нестабильно (глядя на гистограмму, значительная часть оценочных значений находится на верхнем пределе, заданном для оптимизации 200).

Повторяя с большим размером выборки:

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(50, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)
> mean(nus)
[1] 4.342724
> sd(nus)
[1] 14.40137

что намного лучше, но среднее значение все еще намного выше истинного значения 2,5.

Затем помните, что это упрощенная версия реальной проблемы, где также необходимо оценить параметры местоположения и масштаба.

$t$$\nu$

В справке для fitdistr есть этот пример:

fitdistr(x2, "t", df = 9)

указывая, что вам просто нужно значение для df. Но это предполагает стандартизацию.

Для большего контроля они также показывают

mydt <- function(x, m, s, df) dt((x-m)/s, df)/s
fitdistr(x2, mydt, list(m = 0, s = 1), df = 9, lower = c(-Inf, 0))

где параметры будут m = среднее значение, s = стандартное отклонение, df = степени свободы