Связь между генерирующей момент функцией и характеристической функцией

Я пытаюсь понять связь между генерирующей момент функцией и характеристической функцией. Генерирующая момент функция определяется как:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Используя разложение в ряд Я могу найти все моменты распределения для случайной величины X. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

Характеристическая функция определяется как:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Я не совсем понимаю, какую информацию воображаемое число даю мне больше. Я вижу, что и, таким образом, у нас нет только в характеристической функции, но зачем нам нужно вычитать моменты в характеристической функции? Какая математическая идея? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— Giuseppe
источник

Важным моментом является то, что функция, генерирующая моменты, не всегда конечна! (См., Например, этот вопрос .) Если вы хотите построить общую теорию, скажем, о конвергенции в распределении, вы бы хотели, чтобы она работала с максимально возможным количеством объектов. Характеристическая функция, конечно, конечна для любой случайной величины, поскольку

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

— кардинал

Сходства в разложениях Тейлора по-прежнему позволяют считывать моменты, когда они существуют, но отмечают, что не у всех распределений есть моменты, поэтому интерес к этим функциям выходит далеко за рамки этого! :)

— кардинал

Следует также отметить, что MGF - это преобразование Лапласа случайной величины, а CF - преобразование Фурье. Между этими интегральными преобразованиями существуют фундаментальные отношения, см. Здесь .

— Чакраварти

Я думал, что CF - обратное преобразование Фурье (а не преобразование Фурье) распределения пригодности?

— Джузеппе

Различие - только вопрос знака в показателе степени, и возможно мультипликативная константа.

— Glen_b

$1$

$E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$ ,

— Давиде Жираудо
источник