Имеет ли место многомерная центральная предельная теорема (ЦПТ), когда переменные демонстрируют совершенную одновременную зависимость?

Название подводит итог моего вопроса, но для ясности рассмотрим следующий простой пример. Пусть $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ , $i = 1, ..., n$ . Определите:

S_{N} знак равно \frac{1}{N} Σ_{я знак равно 1}^{N} {Икс}_{я}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$ и

T_{N} знак равно \frac{1}{N} Σ_{я знак равно 1}^{N} ({Икс}_{я}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$ Мой вопрос:хотя

S_{n}

$S_n$ и

T_{n}

$T_n$ полностью зависят, когда

n = 1

$n = 1$ , делайте

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$ и

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$ сходятся к совместному нормальному распределению при

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$ ?

Мотивация: Моя мотивация для вопроса связана с тем фактом, что кажется странным (но замечательным), что $S_n$ и $T_n$ совершенно зависимы, когда $n = 1$ , однако значение многомерного CLT заключается в том, что они приближаются к независимости при $n \rightarrow \infty$ (это следует из-за того, что $S_n$ и $T_n$ не коррелированы для всех $n$ , следовательно, если они асимптотически нормальны, то они также должны быть асимптотически независимыми).

Заранее спасибо за любые ответы или комментарии!

ps, если вы можете предоставить какие-либо ссылки и т. д., тем лучше!

— Колин Т Боуэрс
источник

Нет ответа, но есть комментарий. Я не нахожу это очень удивительным. Зависимость, которую вы отмечаете для n = 1, быстро уменьшается с ростом n.

— Эрик

@egbutter предоставил хороший ответ. Если вы все еще ищете какую-то альтернативу или дополнительную интуицию, пингуйте меня, и я увижу, как написать что-то немного другое.

— кардинал

@cardinal Большое спасибо за предложение, но на данный момент я очень счастлив - я наградил награду egbutter. Я думаю, что у меня есть интуиция. Моя главная цель в публикации была в том, чтобы увидеть, если кто-то запрыгнул и сказал: «Нет, нет, вы все неправильно поняли из-за ...» :-) Приветствия.

— Колин Т Боуэрс

Ответы:

Короткий ответ, насколько я понимаю, на ваш q: «Да, но ...». Скорости сходимости на S, T и любых других моментах не обязательно совпадают - проверьте определение границ с помощью теоремы Берри-Эссеена .

В случае, если я неправильно понимаю ваши q, Sn и Tn даже держатся за CLT в условиях слабой зависимости (смешение): проверьте CLT Википедии на предмет зависимых процессов .

CLT является такой общей теоремой - базовое доказательство не требует ничего, кроме того, что характеристическая функция Sn и Tn сходится к характеристической функции стандартной нормали, тогда теорема непрерывности Леви говорит, что сходимость характеристической функции подразумевает сходимость распределения.

Джон Кук дает отличное объяснение ошибки CLT здесь .

— egbutter
источник

Спасибо за ответ. На самом деле меня не волнует скорость конвергенции в том, что касается этого вопроса, а также то, будет ли CLT выдерживать более общие условия, например зависимость. То, на что я действительно надеялся, это ссылка или утверждение, которое оправдывает использование многомерного CLT, когда i-й компонент каждой суммы демонстрирует совершенную одновременную зависимость. Впоследствии я нашел ссылку в «Стохастической предельной теории» Дэвидсона, в которой говорится, что многовариантный CLT имеет произвольную одновременную зависимость, но я все еще ищу некоторую строгость в отношении этого утверждения.

— Колин Т Боуэрс

Звучит так, будто ты слишком обдумываешь это. Являетесь ли вы i в [1, n] «современными» компонентами, на которые вы ссылаетесь? Если это так, то важным моментом является то, что ваши Sn и Tn будут по-прежнему сходиться (вы можете доказать это себе, используя тот же метод, что и доказательство CLT «старой школы», упомянутое выше) - но для данного i их ошибки будут будь другим. Это не меняет того факта, что CLT держит. Многозначное / одномерное различие не важно.

— egbutter

Да, это современные компоненты. Хорошее предложение по поводу прохождения примера через доказательство. Я действительно сделал это, и не нашел никаких проблем, которые парадоксальным образом заставили меня нервничать. Возможно, я обдумываю вещи в этот момент :-) Еще раз спасибо за ответ. Если к концу дня ни у кого больше не будет трещины в ответе, я отмечу ваш ответ как ответ. Приветствия.

— Колин Т Боуэрс

Я могу конечно сопереживать - я часто делаю то же самое! :)

— egbutter

Конечно, это ничего не доказывает , но я всегда считаю, что симуляции и построение графиков очень удобны для понимания теоретических результатов.

Это особенно простой случай. Мы генерируем случайных нормальных переменных и вычисляем и ; повторить раз. Построены графики для и . Легко видеть ослабление зависимости при увеличении ; при график практически неотличим от независимости. $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

введите описание изображения здесь

— Хонг Оои
источник