Наблюдаемая информационная матрица является последовательной оценкой ожидаемой информационной матрицы?

Я пытаюсь доказать, что наблюдаемая информационная матрица, оцененная по слабо непротиворечивой оценке максимального правдоподобия (MLE), является слабо непротиворечивой оценкой ожидаемой информационной матрицы. Это широко цитируемый результат, но никто не дает ссылку или доказательство (я исчерпал, я думаю, первые 20 страниц результатов Google и мои учебники статистики)!

Используя слабо согласованную последовательность MLE, я могу использовать слабый закон больших чисел (WLLN) и теорему о непрерывном отображении, чтобы получить желаемый результат. Однако я считаю, что теорема о непрерывном отображении не может быть использована. Вместо этого я думаю, что нужно использовать единый закон больших чисел (ULLN). Кто-нибудь знает ссылку, которая имеет доказательство этого? У меня есть попытка ULLN, но пока я ее опущу для краткости.

Я прошу прощения за длину этого вопроса, но обозначения должны быть введены. Обозначения как следующие (мое доказательство в конце).

Предположим, что у нас есть выборка случайных величин $\{Y_1,\ldots,Y_N\}$ с плотностями $f(\tilde{Y}|\theta)$ , где $\theta\in\Theta\subseteq\mathbb{R}^{k}$ (здесь $\tilde{Y}$ - просто общая случайная величина с той же плотностью как любой из членов образца). Вектор $Y=(Y_1,\ldots,Y_N)^{T}$ является вектором всех векторов выборки, где $Y_{i}\in\mathbb{R}^{n}$ для всех$i=1,\ldots,N$ . Истинное значение параметра из плотностей$\theta_{0}$ и θ N ( Y ) является слабо состоятельной оценкой максимального правдоподобия (MLE) из & thetas 0 . В соответствии с условиями регулярности информационная матрица Фишера может быть записана как$\hat{\theta}_{N}(Y)$$\theta_{0}$

где ${H}_{\theta}$ - матрица Гессе. Примерный эквивалент

где $I_{y_i}=-E_\theta \left[H_{\theta}(\log f(Y_{i}|\theta)\right]$ . Наблюдаемая информационная матрица имеет вид;

$J(\theta) = -H_\theta(\log f(y|\theta)$ ,

(некоторые люди требуют матрица оценивается в & thetas , но некоторые этого не делают). Выборочная наблюдаемая информационная матрица имеет вид;$\hat{\theta}$

$J_N(\theta)=\sum_{i=1}^N J_{y_i}(\theta)$

где $J_{y_i}(\theta)=-H_\theta(\log f(y_{i}|\theta)$ .

I can prove convergence in probability of the estimator $N^{-1}J_N(\theta)$ to $I(\theta)$, but not of $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_N(Y))$ to $I(\theta_{0})$. Here is my proof so far;

Now $(J_{N}(\theta))_{rs}=-\sum_{i=1}^N (H_\theta(\log f(Y_i|\theta))_{rs}$ is element $(r,s)$ of $J_N(\theta)$, for any $r,s=1,\ldots,k$. If the sample is iid, then by the weak law of large numbers (WLLN), the average of these summands converges in probability to $-E_{\theta}[(H_\theta(\log f(Y_{1}|\theta))_{rs}]=(I_{Y_1}(\theta))_{rs}=(I(\theta))_{rs}$. Thus $N^{-1}(J_N(\theta))_{rs}\overset{P}{\rightarrow}(I(\theta))_{rs}$ for all $r,s=1,\ldots,k$, and so $N^{-1}J_N(\theta)\overset{P}{\rightarrow}I(\theta)$. Unfortunately we cannot simply conclude $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_N(Y))\overset{P}{\rightarrow}I(\theta_0)$ by using the continuous mapping theorem since $N^{-1}J_{N}(\cdot)$ is not the same function as $I(\cdot)$.

Any help on this would be greatly appreciated.

$\newcommand{\convp}{\stackrel{P}{\longrightarrow}}$

I guess directly establishing some sort of uniform law of large numbers is one possible approach.

Here is another.

We want to show that $\frac{J^N(\theta_{MLE})}{N} \convp I(\theta^*)$.

(As you said, we have by the WLLN that $\frac{J^N(\theta)}{N} \convp I(\theta)$. But this doesn't directly help us.)

One possible strategy is to show that

and

If both of the results are true, then we can combine them to get

which is exactly what we want to show.

The first equation follows from the weak law of large numbers.

The second almost follows from the continuous mapping theorem, but unfortunately our function $g()$ that we want to apply the CMT to changes with $N$: our $g$ is really $g_N(\theta) := \frac{J^N(\theta)}{N}$. So we cannot use the CMT.

(Comment: If you examine the proof of the CMT on Wikipedia, notice that the set $B_\delta$ they define in their proof for us now also depends on $n$. We essentially need some sort of equicontinuity at $\theta^*$ over our functions $g_N(\theta)$.)

Fortunately, if you assume that the family $\mathcal{G} = \{g_N | N=1,2,\ldots\}$ is stochastically equicontinuous at $\theta^*$, then it immediately follows that for $\theta_{MLE} \convp \theta^*$,

(See here: http://www.cs.berkeley.edu/~jordan/courses/210B-spring07/lectures/stat210b_lecture_12.pdf for a definition of stochastic equicontinuity at $\theta^*$, and a proof of the above fact.)

Therefore, assuming that $\mathcal{G}$ is SE at $\theta^*$, your desired result holds true and the empirical Fisher information converges to the population Fisher information.

Now, the key question of course is, what sort of conditions do you need to impose on $\mathcal{G}$ to get SE? It looks like one way to do this is to establish a Lipshitz condition on the entire class of functions $\mathcal{G}$ (see here: http://econ.duke.edu/uploads/media_items/uniform-convergence-and-stochastic-equicontinuity.original.pdf ).

The answer above using stochastic equicontinuity works very well, but here I am answering my own question by using a uniform law of large numbers to show that the observed information matrix is a strongly consistent estimator of the information matrix , i.e. $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y))\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$ if we plug-in a strongly consistent sequence of estimators. I hope it is correct in all details.

We will use $I_{N}=\{1,2,...,N\}$ to be an index set, and let us temporarily adopt the notation $J(\tilde{Y},\theta):=J(\theta)$ in order to be explicit about the dependence of $J(\theta)$ on the random vector $\tilde{Y}$. We shall also work elementwise with $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ and $(J_{N}(\theta))_{rs}=\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}$, $r,s=1,...,k$, for this discussion. The function $(J(\cdot,\theta))_{rs}$ is real-valued on the set $\mathbb{R}^{n}\times\Theta^{\circ}$, and we will suppose that it is Lebesgue measurable for every $\theta\in\Theta^{\circ}$. A uniform (strong) law of large numbers defines a set of conditions under which

$\underset{\theta\in\Theta}{\text{sup}}\left|N^{-1}(J_{N}(\theta))_{rs}-E_{\theta}\left[(J(Y_{1},\theta))_{rs}\right]\right|=\nonumber\\ \hspace{60pt}\underset{\theta\in\Theta}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|\overset{a.s}{\longrightarrow}0\hspace{100pt}(1)$

The conditions that must be satisfied in order that (1) holds are (a) $\Theta^{\circ}$ is a compact set; (b) $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ is a continuous function on $\Theta^{\circ}$ with probability 1; (c) for each $\theta\in \Theta^{\circ}$ $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ is dominated by a function $h(\tilde{Y})$, i.e. $|(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}|<h(\tilde{Y})$; and (d) for each $\theta\in \Theta^{\circ}$ $E_{\theta}[h(\tilde{Y})]<\infty$;. These conditions come from Jennrich (1969, Theorem 2).

Now for any $y_{i}\in\mathbb{R}^{n}$, $i\in I_{N}$ and $\theta'\in S\subseteq\Theta^{\circ}$, the following inequality obviously holds

$\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(y_{i},\theta'))_{rs}-(I(\theta'))_{rs}\right|\leq\underset{\theta\in S}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|.\hspace{50pt}(2)$

Suppose that $\{\hat{\theta}_{N}(Y)\}$ is a strongly consistent sequence of estimators for $\theta_{0}$, and let $\Theta_{N_{1}}=B_{\delta_{N_{1}}}(\theta_{0})\subseteq K\subseteq \Theta^{\circ}$ be an open ball in $\mathbb{R}^{k}$ with radius $\delta_{N_{1}}\rightarrow 0$ as $N_{1}\rightarrow\infty$, and suppose $K$ is compact. Then since $\hat{\theta}_{N}(Y)\in \Theta_{N_{1}}$ for $N$ sufficiently large enough we have $P[\underset{N}{\text{lim}}\{\hat{\theta}_{N}(Y)\in\Theta_{N_{1}}\}]=1$ for sufficiently large $N$. Together with (2) this implies

$P\left[\underset{N\rightarrow\infty}{\text{lim}}\left\{\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}-(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\right|\leq\right.\right.\nonumber\\ \hspace{40pt}\left.\left.\underset{\theta\in\Theta_{N_{1}}}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|\right\}\right]=1.\hspace{100pt}(3)$

Now $\Theta_{N_{1}}\subseteq\Theta^{\circ}$ implies conditions (a)-(d) of Jennrich (1969, Theorem 2) apply to $\Theta_{N_{1}}$. Thus (1) and (3) imply

$P\left[\underset{N\rightarrow\infty}{\text{lim}}\left\{\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}-(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\right|=0\right\}\right]=1.\hspace{100pt}(4)$

Since $(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$ then (4) implies that $N^{-1}(J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\overset{a.s.}{\longrightarrow}(I(\theta_{0}))_{rs}$. Note that (3) holds however small $\Theta_{N_{1}}$ is, and so the result in (4) is independent of the choice of $N_{1}$ other than $N_{1}$ must be chosen such that $\Theta_{N_{1}}\subseteq \Theta^{\circ}$. This result holds for all $r,s=1,...,k$, and so in terms of matrices we have $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y))\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$.