Как простая модель логистической регрессии достигает 92% точности классификации по MNIST?

Несмотря на то, что все изображения в наборе данных MNIST центрированы с одинаковым масштабом и обращены вверх без поворотов, у них есть существенный разброс рукописного текста, который удивляет меня, как линейная модель достигает такой высокой точности классификации.

Насколько я могу визуализировать, учитывая значительные различия в почерке, цифры должны быть линейно неразделимы в пространстве размером 784, то есть должна быть небольшая сложная (хотя и не очень сложная) нелинейная граница, которая разделяет разные цифры. Аналогично хорошо цитируемому примеру где положительный и отрицательный классы не могут быть разделены никаким линейным классификатором. Мне кажется непонятным, как мультиклассовая логистическая регрессия дает такую ​​высокую точность с полностью линейными характеристиками (без полиномиальных особенностей).$XOR$

Например, для любого пикселя на изображении различные рукописные варианты цифр и могут сделать этот пиксель подсвеченным или нет. Следовательно, с набором изученных весов каждый пиксель может сделать цифру как так и . Только с комбинацией значений пикселей можно сказать, является ли цифра или . Это верно для большинства пар цифр. Итак, как же логистическая регрессия, которая слепо основывает свое решение независимо от всех значений пикселей (без учета каких-либо межпиксельных зависимостей вообще), способна достичь такой высокой точности.$2$$3$$2$$3$$2$$3$

Я знаю, что где-то ошибаюсь или просто переоцениваю различия в изображениях. Тем не менее, было бы здорово, если бы кто-то мог помочь мне с интуицией о том, как цифры «почти» линейно разделимы.

tl; dr Несмотря на то, что это набор данных для классификации изображений, он остается очень простой задачей, для которой можно легко найти прямое сопоставление от входных данных до предсказаний.

Ответ:

Это очень интересный вопрос, и благодаря простоте логистической регрессии вы действительно можете найти ответ.

Что логистическая регрессия делает для каждого изображения, принимает входных данных и умножает их на веса, чтобы сгенерировать его прогноз. Интересно то, что из-за прямого отображения между входом и выходом (то есть без скрытого слоя) значение каждого веса соответствует тому, насколько каждый из входов учитывается при вычислении вероятности каждого класса. Теперь, взяв веса для каждого класса и изменив их на (т.е. разрешение изображения), мы можем сказать, какие пиксели наиболее важны для вычисления каждого класса .$784$$784$$28 \times 28$

Обратите внимание, опять же, что это веса .

Теперь взгляните на изображение выше и сфокусируйтесь на первых двух цифрах (то есть ноль и одна). Синие веса означают, что интенсивность этого пикселя вносит большой вклад в этот класс, а красные значения означают, что он вносит отрицательный вклад.

А теперь представьте, как человек рисует ? Он рисует пустую круглую форму между ними. Это именно то, что поднял вес. На самом деле, если кто-то рисует середину изображения, оно считается отрицательным как ноль. Поэтому для распознавания нулей вам не нужны сложные фильтры и высокоуровневые функции. Вы можете просто посмотреть на нарисованные позиции пикселей и судить по этому.$0$

То же самое для . Он всегда имеет прямую вертикальную линию в середине изображения. Все остальное считается отрицательно.$1$

Остальные цифры немного сложнее, но с небольшим воображением вы можете увидеть , , и . Остальные цифры немного сложнее, что фактически ограничивает логистическую регрессию от достижения высоких 90-х.$2$$3$$7$$8$

Благодаря этому вы можете видеть, что логистическая регрессия имеет очень хорошие шансы получить много изображений правильно, и поэтому она так высоко оценивается.

Код для воспроизведения приведенного выше рисунка немного устарел, но здесь вы идете:

import tensorflow as tf
import matplotlib.pyplot as plt
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data

# Load MNIST:
mnist = input_data.read_data_sets("MNIST_data/", one_hot=True)

# Create model
x = tf.placeholder(tf.float32, shape=(None, 784))
y = tf.placeholder(tf.float32, shape=(None, 10))

W = tf.Variable(tf.zeros((784,10)))
b = tf.Variable(tf.zeros((10)))
z = tf.matmul(x, W) + b

y_hat = tf.nn.softmax(z)
cross_entropy = tf.reduce_mean(-tf.reduce_sum(y * tf.log(y_hat), reduction_indices=[1]))
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.5).minimize(cross_entropy) # 

correct_pred = tf.equal(tf.argmax(y_hat, 1), tf.argmax(y, 1))
accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_pred, tf.float32))

# Train model
batch_size = 64
with tf.Session() as sess:

    loss_tr, acc_tr, loss_ts, acc_ts = [], [], [], []

    sess.run(tf.global_variables_initializer()) 

    for step in range(1, 1001):

        x_batch, y_batch = mnist.train.next_batch(batch_size) 
        sess.run(optimizer, feed_dict={x: x_batch, y: y_batch})

        l_tr, a_tr = sess.run([cross_entropy, accuracy], feed_dict={x: x_batch, y: y_batch})
        l_ts, a_ts = sess.run([cross_entropy, accuracy], feed_dict={x: mnist.test.images, y: mnist.test.labels})
        loss_tr.append(l_tr)
        acc_tr.append(a_tr)
        loss_ts.append(l_ts)
        acc_ts.append(a_ts)

    weights = sess.run(W)      
    print('Test Accuracy =', sess.run(accuracy, feed_dict={x: mnist.test.images, y: mnist.test.labels})) 

# Plotting:
for i in range(10):
    plt.subplot(2, 5, i+1)
    weight = weights[:,i].reshape([28,28])
    plt.title(i)
    plt.imshow(weight, cmap='RdBu')  # as noted by @Eric Duminil, cmap='gray' makes the numbers stand out more
    frame1 = plt.gca()
    frame1.axes.get_xaxis().set_visible(False)
    frame1.axes.get_yaxis().set_visible(False)