Делает ли Wolfram Mathworld ошибку, описывая дискретное распределение вероятностей с помощью функции плотности вероятности?

Обычно распределение вероятностей по дискретным переменным описывается с использованием функции вероятности (PMF):

При работе с непрерывными случайными величинами мы описываем распределения вероятностей, используя функцию плотности вероятности (PDF), а не функцию массы вероятности.

- Глубокое обучение от Гудфеллоу, Бенжио и Курвилля

Однако Wolfram Mathworld использует PDF для описания распределения вероятностей по дискретным переменным:

Это ошибка? или это не имеет большого значения?

— czlsws
источник

Это неряшливо, на мой взгляд, но не очень важно. Это даже оправданно, если они подойдут к вероятности с точки зрения теории меры, хотя это немного похоже на введение в подбрасывание монеты. (Как ни странно, у них нет статьи о PMF.)

— Дэйв,

pmf - плотность против меры подсчета

— Сиань

Когда вы обсуждаете теорию вероятностей на уровне пространства мер, заданном 3 элементами, pdf и pmf не отличаются друг от друга, поэтому pmf отбрасывается. Все дистрибутивы могут быть указаны в формате PDF. wolfram - это математический сайт, поэтому неудивительно, что они используют математику высокого уровня, чтобы говорить о вероятности. Здесь хорошее свободное чтение. stat.washington.edu/~pdhoff/courses/581/LectureNotes/…

— user158565

Ответы:

Это не ошибка: в формальной трактовке вероятности с помощью теории меры функция плотности вероятности является производной от интересующей меры вероятности, взятой в отношении «доминирующей меры» (также называемой «эталонной мерой»). Для дискретных распределений по целым числам функция вероятности является функцией плотности по отношению к счетной мере . Поскольку функция вероятности является определенным типом функции плотности вероятности, вы иногда найдете ссылки, подобные этой, которые называют ее функцией плотности, и они не ошибаются, ссылаясь на нее таким образом.

В обычном дискурсе о вероятности и статистике часто избегают этой терминологии и проводят различие между «массовыми функциями» (для дискретных случайных величин) и «плотностными функциями» (для непрерывных случайных величин), чтобы различать дискретные и непрерывные распределения. В других контекстах, где говорится о целостных аспектах вероятности, часто лучше игнорировать это различие и называть оба «функциями плотности».

— Восстановить Монику
источник

Спасибо за Ваш ответ. Означает ли treatment«в формальной трактовке вероятности» нотацию, перспективу, соглашение или что-то еще?

— czlsws

Когда я говорю здесь о «формальном обращении», я имею в виду современную основу теории вероятностей, которая является подмножеством теории меры. Это математическая теория, которая принята как формальная основа вероятности.

— Восстановить Монику

«функция плотности вероятности является производной от интересующей меры вероятности» Мне кажется, что в некотором смысле это скорее «антиинтеграл», чем производная. Существуют разрывные PDF-файлы, такие как равномерное распределение, а дискретные распределения можно рассматривать как суммы дельта-функций Дирака. В этих случаях, чтобы применить его, нужно было бы обобщить концепцию производной, выходящую далеко за рамки обычного понимания.

— накопление

@ Накопление - как прерывистое равномерное распределение? ... а теория меры - гораздо более общий подход к интеграции и дифференциации, чем обычное понимание Calc I и II.

— jbowman

@ Накопление: Да, это справедливая характеристика, и действительно, это то, что сделано. Технически плотность является производной Радона-Никодима , которая действительно является типом «антиинтеграла» типа, который вы описываете.

— Восстановить Монику

В дополнение к более теоретическому ответу с точки зрения теории мер также удобно не проводить различий между pmfs и pdfs в статистическом программировании. Например, R имеет множество встроенных дистрибутивов. Для каждого распределения у него есть 4 функции. Например, для нормального распространения (из файла справки):

dnorm gives the density, pnorm gives the distribution function, qnorm gives the quantile function, and rnorm generates random deviates.

Пользователи R быстро стали использовать d,p,q,rпрефиксы. Было бы неприятно, если бы вам пришлось сделать что-то вроде drop dи использовать, mнапример, для биномиального распределения. Вместо этого все так, как ожидал бы пользователь R:

dbinom gives the density, pbinom gives the distribution function, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.

— Джон Колман
источник

scipy.statsразличает, некоторые объекты имеют pdfметод, а другие имеют pmfметод. Это действительно раздражает меня!

— Мэтью Друри