Достижимые корреляции для логнормальных случайных величин

Рассмотрим логнормальные случайные величины $X_1$ и $X_2$ с $\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$ и $\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ .

$\rho_{\max}$$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ и $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

но они сделали некоторые ссылки на комонотонность и контркомонотонность. Я надеялся, что кто-нибудь поможет мне понять, насколько они актуальны. (Я знаю, как получить это из общего выражения, но хочу знать, что конкретно говорят части о комонотонности.)

Начну, обеспечивая определение comonotonicity и countermonotonicity . Затем я упомяну, почему это важно для вычисления минимального и максимального возможного коэффициента корреляции между двумя случайными переменными. И, наконец, я вычислю эти оценки для логнормальных случайных величин $X_1$ и $X_2$ .

Комонотонность и контрмонотонность
Случайные переменные $X_1, \ldots, X_d$ называются комонотонными, если их связка является верхней границей Фреше $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$ , которая является самой сильной тип «положительной» зависимости.
Можно показать, что $X_1, \ldots, X_d$ являются комонотонными тогда и только тогда, когда

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ где $Z$ - некоторая случайная величина, $h_1, \ldots, h_d$ - увеличивающиеся функции, а $\stackrel{\mathrm{d}}{=}$обозначает равенство в распределении. Итак, комонотонные случайные величины являются только функциями одной случайной величины.

Случайные величины называются countermonotonic , если их копула является Фрешем нижней грани , который является самым сильным типом зависимости «отрицательной» в двумерный случай. Противодействие монотонности не распространяется на более высокие измерения. Можно показать, что контрмонотонны тогда и только тогда, когда где - некоторая случайная величина, и и являются соответственно возрастающей и убывающей функцией или наоборот. W ( u 1 , u 2 ) = max ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z ч 1 ч $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

Достижимая корреляция.
Пусть и - две случайные величины со строго положительными и конечными дисперсиями, и пусть и обозначают минимальный и максимально возможный коэффициент корреляции между и . Тогда можно показать, чтоX 2 ρ min ρ max X 1 X $X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• X 1 X ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ тогда и только тогда, когда и контрмонотонны;$X_1$$X_2$
• X 1 X ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ тогда и только тогда, когда и являются комонотонными.$X_1$$X_2$

Достижимая корреляция для логнормальных случайных величин.
Чтобы получить мы используем тот факт, что максимальная корреляция достигается тогда и только тогда, когда и являются комонотонными. Случайные величины и где являются комонотонными, поскольку экспоненциальная функция является (строго) возрастающей функцией и, таким образом, . Х 1 Х 2 Х $\rho_{\max}$$X_1$$X_2$ X 2 = е σ Z Z ~ N ( 0 , 1 ) ρ макс = с о т г ( е Z , е σ Z$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

Используя свойства логнормальных случайных величин , мы получаем , , , , и ковариация равна Таким образом, Е ( е σ Z ) = е σ 2 /${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$v г ( е σ Z ) = е σ 2 ( е σ 2 - 1 ) c o v ( e ${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$ρ

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Подобные вычисления с дают ρ $X_2 = e^{-\sigma Z}$

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

Комментарий
Этот пример показывает, что возможно иметь пару случайных величин, которые сильно зависят друг от друга - комонотонность и контрмонотонность являются наиболее сильным видом зависимости, но имеют очень низкую корреляцию. Следующая таблица показывает эти границы в зависимости от .$\sigma$

Это код R, который я использовал для составления таблицы выше.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)