Почему мы не используем t-распределение для построения доверительного интервала для пропорции?

Чтобы рассчитать доверительный интервал (CI) для среднего значения с неизвестным стандартным отклонением популяции (sd), мы оцениваем стандартное отклонение популяции, используя t-распределение. Примечательно, что $CI=\bar{X} \pm Z_{95\% }\sigma_{\bar X}$ где $\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt n}$ . Но поскольку у нас нет точечной оценки стандартного отклонения совокупности, мы оцениваем через приближение$CI=\bar{X} \pm t_{95\% }(se)$где$se = \frac{s}{\sqrt n}$

И наоборот, для пропорции населения, рассчитать CI, аппроксимировать , как $CI = \hat{p} \pm Z_{95\% }(se)$ где $se = \sqrt\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$ при условии$n \hat{p} \ge 15$и$n(1-\hat{p}) \ge 15$

Мой вопрос: почему мы удовлетворены стандартным распределением доли населения?

Как стандартное нормальное распределение, так и распределение Стьюдента довольно плохое приближение к распределению

при малом $n,$ так бедно , что ошибка затмевает различия между этими двумя распределениями.

Вот сравнение всех трех распределений (исключив случаи , когда р или 1 - р равны нулю, где неопределенное отношение) для п = 10 , р = 1 / 2 :$\hat p$$1-\hat p$$n=10, p=1/2:$

«Эмпирическое» распределение является то , что $Z,$ который должен быть дискретным , поскольку оценки р ограничены конечного множества { 0 , 1 / п , 2 / п , ... , п / п } .$\hat p$$\{0, 1/n, 2/n, \ldots, n/n\}.$

Распределение $t$ кажется, делает лучшую работу приближения.

Для $n=30$ и $p=1/2,$ вы можете увидеть разницу между стандартными распределениями нормальных и Стьюдента совершенно незначительна:

Поскольку t-распределение Стьюдента является более сложным, чем стандартное Normal (на самом деле это целое семейство распределений, индексируемых «степенями свободы», для которых раньше требовались целые главы таблиц, а не одна страница), стандартный Normal используется почти для всех приближения.

Обоснование использования t-распределения в доверительном интервале для среднего значения основывается на предположении, что базовые данные следуют нормальному распределению, что приводит к распределению хи-квадрат при оценке стандартного отклонения и, таким образом, $\frac{\bar{x}-\mu}{s/ \sqrt{n}} \sim t_{n-1}$. Это точный результат в предположении, что данные являются в точности нормальными, что приводит к доверительным интервалам с ровно 95% -ным охватом при использовании$t$и менее 95% -ным охватом при использовании$z$.

В случае интервалов Wald для пропорций, вы получите только асимптотическую нормальность для р - р$\frac{\hat{p}- p}{\sqrt{ \hat{p}(1-\hat{p} )/n}}$когда п достаточно велико, что зависит от р. Фактическая вероятность охвата процедуры, поскольку основные показатели успеха являются дискретными, иногда ниже, а иногда и выше номинальной вероятности охвата в 95% в зависимости от неизвестного значения$p$. Таким образом, нет никакого теоретического обоснования использования$t$, и нет никакой гарантии, что с практической точки зрения использование$t$только для того, чтобы увеличить интервалы, фактически помогло бы достичь номинального покрытия в 95%.

Вероятность покрытия может быть точно рассчитана, хотя ее довольно просто смоделировать. В следующем примере показана моделируемая вероятность покрытия при n = 35. Это демонстрирует, что вероятность покрытия для использования z-интервала, как правило, немного меньше, чем 0,95, в то время как вероятность покрытия для T-интервала, как правило, может быть немного ближе к 0,95 в среднем, в зависимости от ваших предыдущих предположений о вероятных значениях p ,

И AdamO, и JSK дают отличный ответ.

Я бы попробовал повторить их пункты простым английским языком

Когда базовое распределение нормальное, вы знаете, что есть два параметра: среднее значение и дисперсия . T-распределение предлагает способ сделать вывод о среднем, не зная точного значения дисперсий. Вместо использования фактических отклонений требуются только выборочные средние значения и выборочные отклонения. Поскольку это точное распределение, вы точно знаете, что вы получаете. Другими словами, вероятность покрытия верна. Использование t просто отражает желание обойти неизвестную дисперсию населения.

Однако, когда мы делаем вывод о пропорции, базовое распределение является биномиальным. Чтобы получить точное распределение, вам нужно взглянуть на доверительные интервалы Клоппера-Пирсона. Формула, которую вы предоставляете, - это формула для доверительного интервала Вальда. Для аппроксимации биномиального распределения используется нормальное распределение, поскольку нормальное распределение является ограничивающим распределением биномиального распределения. В этом случае, поскольку вы только приближаетесь, дополнительный уровень точности при использовании t-статистики становится ненужным, все сводится к эмпирической производительности. Как указывалось в ответе BruceET, Agresti-Coull является простой и стандартной формулой в наше время для такого приближения.

Мой профессор доктор Лонгнекер из Техаса A & M провел простую симуляцию, чтобы проиллюстрировать, как работает другое приближение по сравнению с биномиальной КИ.

Дополнительную информацию можно найти в статье Оценка интервалов для биномиальной пропорции в статистической науке , том. 16, pp.101-133, L. Brown, T. Cai и A. DasGupta. В основном, AC CI рекомендуется для n> = 40.

$X_1, X_2, \dots X_n$$\mu$$\sigma$$H_0:\mu = \mu_0$$H_a: \mu \ne \mu_0$$Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.$$H_0$$Z \sim \mathsf{Norm}(0,1),$$H_0$$|Z| \ge 1.96.$

$\mu$$\mu_0$$\mu.$$\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n},$$\pm 1.96$

$\sigma$$S,$$T=\frac{\bar X - \mu_0}{S/\sqrt{n}}.$$T$$n$$S$$\sigma.$

$T \sim \mathsf{T}(\nu = n-1),$$n-1$$\sigma$$\bar X \pm t^*S/\sqrt{n},$$\pm t^*$$\mathsf{T}(n-1).$

$n > 30,$$t^* \approx 2 \approx 1.96.$$S$$\sigma$$\sigma$$n > 30,$

$X$$n$$\hat p =X/n$$p.$$H_0:p = p_0$$H_a: p \ne p>0,$$Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.$$H_0,$$Z \stackrel{aprx}{\sim} \mathsf{Norm}(0,1).$$H_0$$|Z| \ge 1.96.$

$p,$$\hat p \pm 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$p$$n,$$\hat p$$p.$$\hat p \pm 1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.$$n$

$\check n = n+4$$\check p = (X+2)/\check n$$\check p \pm 1.96\sqrt{\frac{\check p(1-\check p)}{\check n}}.$

$\mu$$p$

$S$$\sigma$$\sigma$

$\hat p$$p$$\hat p$ оба зависят от $p.$ Agresti-Coull CI предоставляет один исправный способ получения CI для биномиального $p$ которые достаточно точны даже для умеренно малых $n.$

Обратите внимание на ваше использование $\sigma$ обозначение, которое означает (известное) стандартное отклонение населения.

T-распределение возникло как ответ на вопрос: что происходит, когда вы не знаете $\sigma$?

Он отметил, что, когда вы обманываете, оценивая $\sigma$Исходя из примера оценки подключаемых модулей, ваши CI в среднем слишком узкие. Это потребовало Т-распределения.

И наоборот, если вы используете дистрибутив T , когда вы на самом деле сделать ноу$\sigma$Ваши доверительные интервалы в среднем будут слишком широкими.

Also, it should be noted that this question mirrors the answer solicited by this question.