Плотность Y = log (X) для гамма-распределенного Х

Этот вопрос тесно связан с этим постом

Предположим, у меня есть случайная величина , и я определяю . Я хотел бы найти функцию плотности вероятности . $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

Первоначально я думал, что я просто определю кумулятивную функцию распределения X, сделаю изменение переменной и возьму "внутреннюю часть" интеграла в качестве моей плотности, вот так,

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

Здесь я использую и , а затем sub в определениях для и в терминах . $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

Вывод, к сожалению, не интегрируется в 1. Я не уверен, где моя ошибка. Могут ли некоторые сказать мне, где моя ошибка?

pdf gamma-distribution

— duckworthd
источник

Если вы работаете через cdf, вы не должны менять подынтегральное выражение с первого на второе. Ваша ошибка в том, что вы пытаетесь использовать оба подхода: cdf и якобиан одновременно.

— Сиань

Напишите плотности с показателями, чтобы получить четкую картину.

Если , то $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

Если с обратным , то и CDF получается из определения $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) I_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— Zen
источник

Это хороший ответ, но, возможно, вам следует параметризовать гамма-распределение так же, как исходный вопрос.

— предположительно нормальное

Хорошая мысль, Макс. Готово.

— Дзен

Woops, у моих собственных определений были ошибки. Должно быть .

α = k

$\alpha = k$

— Уткаворт