Каков интуитивный смысл наличия линейных отношений между логами двух переменных?

20

У меня есть две переменные, которые не показывают большой корреляции при построении графика друг против друга, как есть, но очень четкие линейные отношения, когда я строю журналы каждой переменной против другой.

Таким образом, я бы в конечном итоге с моделью типа:

\log (Y) = a \log (X) + b

$\log(Y) = a \log(X) + b$ , что математически здорово, но, похоже, не имеет объяснительного значения регулярной линейной модели.

Как я могу интерпретировать такую модель?

regression correlation log

— Дети Акаике
источник

5

Мне нечего добавить к существующим ответам, но логарифм в результате и предиктор - это эластичность. Поиск этого термина должен найти хорошие источники для интерпретации этих отношений, что не очень интуитивно понятно.

— Upper_Case-Stop Harm Моника

Интерпретация модели log-log, где зависимой переменной является log (y), а независимой переменной является log (x), равна:

% Δ = β_{1} % Δ x

$\%Δ=β_1\%Δx$ .

— Боб

3

Дополнительная логарифмическая ссылка является идеальной спецификацией GLM, когда результат является бинарным (модель риска), а воздействие является кумулятивным, например, число половых партнеров против ВИЧ-инфекции. jstor.org/stable/2532454

— AdamO

2

@ Алексис, вы можете увидеть липкие точки, если наложите кривые. Попробуй curve(exp(-exp(x)), from=-5, to=5)против curve(plogis(x), from=-5, to=5). Вогнутость ускоряется. Если риск события от одного столкновения был

p

$p$ , то риск после второго события должен быть

1 - (1 - p)^{2}

$1-(1-p)^2$ и т. Д., Это вероятностная форма, логит не будет зафиксирован. Высокие высокие воздействия могут искажать результаты логистической регрессии более резко (ложно в соответствии с предыдущим правилом вероятности). Некоторое моделирование покажет вам это.

— AdamO

1

@AdamO Вероятно, будет написана педагогическая статья, включающая в себя такую симуляцию, которая мотивирует, как выбрать конкретную дихотомическую ссылку на результат из трех, включая ситуации, когда это имеет значение и не имеет значения.

— Алексис

27

Вам просто нужно взять экспоненту обеих сторон уравнения, и вы получите потенциальное соотношение, которое может иметь смысл для некоторых данных.

\log (Y) = a \log (X) + b

$\log(Y) = a\log(X) + b$

\exp (\log (Y)) = \exp (a \log (X) + b)

$\exp(\log(Y)) = \exp(a \log(X) + b)$

Y = e^{b} \cdot X^{a}

$Y = e^b\cdot X^a$

И поскольку - это просто параметр, который может принимать любое положительное значение, эта модель эквивалентна: $e^b$

Y = c \cdot X^{a}

$Y=c \cdot X^a$

Следует отметить, что выражение модели должно включать термин ошибки, и это изменение переменных оказывает на него интересное влияние:

\log (Y) = a \log (X) + b + ϵ

$\log(Y) = a \log(X) + b + \epsilon$

Y знак равно е^{б} \cdot {Икс}^{a} \cdot ехр (ε)

$Y = e^b\cdot X^a\cdot \exp(\epsilon)$

То есть ваша модель с аддитивными ошибками в соответствии с условиями для OLS (нормально распределенные ошибки с постоянной дисперсией) эквивалентна потенциальной модели с мультипликативными ошибками, чей логарифм следует нормальному распределению с постоянной дисперсией.

— Pere
источник

3

OP может быть интересно узнать, что у этого дистрибутива есть имя, лог-нормальное: en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution

— gardenhead

2

Как насчет влияния неравенства Дженсена? Обычно для выпуклых g,

E [g (X)] \geq g (E [X])

$E[g(X)]≥g(E[X])$

— статистика

14

Вы можете взять вашу модель и вычислить полный дифференциал, в результате вы получите что-то вроде: который уступает $\log(Y)=a\log(X)+b$

\frac{1}{Y} d Y знак равно a \frac{1}{Икс} d Икс

$\frac{1}YdY=a\frac{1}XdX$

\frac{d Y}{d Икс} \frac{Икс}{Y} знак равно a

$\frac{dY}{dX}\frac{X}{Y}=a$

Следовательно , один простая интерпретация коэффициента будет процентным изменением в для процентного изменения в . Из этого следует , кроме того , что переменная наросты на постоянной фракции ( ) от скорости роста . $a$ $Y$ $X$ $Y$ $a$ $X$

— RScrlli
источник

Так что, если график log-log является линейным, это будет означать постоянную скорость роста?

— Дмитрий Васильевич Мастеров

Фактически, темп роста будет постоянным тогда и только тогда, когда .

Y

$Y$

a = 0

$a=0$

— RScrlli

Не со временем темпы роста относительно роста в х.

— Дмитрий Васильевич Мастеров

переупорядочение не помогает, я бы удалил его

— Аксакал

1

@ DimitriyV.Masterov Ok, то так как , линейный по , это означает , что переменная возрастает при постоянной доле скорости роста . Что-то не так с моим ответом по вашему мнению?

\log (Y)

$\log(Y)$

\log (X)

$\log(X)$

Y

$Y$

X

$X$

— RScrlli

7

Интуитивно понятно, что дает нам порядок величины переменной, поэтому мы можем рассматривать отношения, поскольку порядки величин двух переменных линейно связаны. Например, увеличение предиктора на один порядок может быть связано с увеличением отклика на три порядка. $\log$

При построении графика с использованием log-log мы надеемся увидеть линейную зависимость. Используя пример из этого вопроса , мы можем проверить предположения линейной модели:

логарифмическая

— qwr
источник

3

+1 за интуитивный ответ на не интуитивную концепцию. Однако изображение, которое вы включили, явно нарушает постоянную дисперсию ошибок по всему предиктору.

— Франс Роденбург

1

Ответ правильный, но авторство неверно. Изображение не должно быть связано с Google Images, но, по крайней мере, с веб-страницей, где его можно найти, что можно узнать, просто нажав на изображения Google.

— Pere

@ К сожалению, я не могу найти исходный источник изображения, к сожалению (по крайней мере, с помощью обратного поиска изображения)

— qwr

Это , кажется, выходит родом из diagramss.us , хотя это сайт вниз и большинство его страниц не в веб - архиве помимо своей домашней странице

— Генри

4

Примиряя ответ @Rscrill с фактическими дискретными данными, рассмотрим

журнал (Y_{T}) знак равно a журнал ({Икс}_{T}) + б, журнал (Y_{T - 1}) знак равно a журнал ({Икс}_{T - 1}) + б

$\log(Y_t) = a\log(X_t) + b,\;\;\; \log(Y_{t-1}) = a\log(X_{t-1}) + b$

⟹ журнал (Y_{T}) - журнал (Y_{T - 1}) знак равно a [журнал ({Икс}_{T}) - журнал ({Икс}_{T - 1})]

$\implies \log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = a\left[\log(X_t)-\log(X_{t-1})\right]$

Но

журнал (Y_{T}) - журнал (Y_{T - 1}) знак равно журнал (\frac{Y_{T}}{Y_{T - 1}}) \equiv журнал (\frac{Y_{T - 1} + Δ Y_{T}}{Y_{T - 1}}) знак равно журнал (1 + \frac{Δ Y_{T}}{Y_{T - 1}})

$\log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = \log\left(\frac{Y_t}{Y_{t-1}}\right) \equiv \log\left(\frac{Y_{t-1}+\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) = \log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$ - это процентное изменение между периодами и или темп роста , скажем, . Когда он меньше , мы имеем приемлемое приближение $Y$ $t-1$ $t$ $Y_t$ $g_{Y_{t}}$ $0.1$

журнал (1 + \frac{Δ Y_{T}}{Y_{T - 1}}) \approx \frac{Δ Y_{T}}{Y_{T - 1}} знак равно {грамм}_{Y_{T}}

$\log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) \approx \frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}=g_{Y_{t}}$

Поэтому мы получаем

{грамм}_{Y_{T}} \approx a {грамм}_{{Икс}_{T}}

$g_{Y_{t}}\approx ag_{X_{t}}$

что подтверждает в эмпирических исследованиях теоретическую трактовку @Rscrill.

— Алекос Пападопулос
источник

1

Это, вероятно, то, что математик назвал бы интуитивным :)

— Ричард Харди

2

Линейная зависимость между бревнами эквивалентна степенной зависимости: В физике такое поведение означает, что система не масштабируется или не масштабируется . Например, если - это расстояние или время, это означает, что зависимость от не может быть охарактеризована характерной длиной или шкалой времени (в отличие от экспоненциальных затуханий). В результате, такая система обладает дальней зависимостью на .

Y ~ {Икс}^{α}

$Y \sim X^\alpha$

X

$X$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Итамар
источник