Найти способ симулировать случайные числа для этого распределения

Я пытаюсь написать программу на R, которая имитирует псевдослучайные числа из распределения с помощью кумулятивной функции распределения:

$$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$$

где$a,b>0, p \in (0,1)$

Я пробовал выборку с обратным преобразованием, но обратное не представляется аналитически разрешимым. Я был бы рад, если бы вы могли предложить решение этой проблемы

Существует простое (и, если я могу добавить, элегантное) решение этого упражнения: поскольку $1-F(x)$ выглядит как произведение двух распределений выживания:

$$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$$ распределение $F$ - это распределение $$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$$ В этом случае $F_1$ является экспоненциальным распределением $\mathcal{E}(a)$ а $F_2$ является $1/(p+1)$ -ым степень экспоненциального распределения $\mathcal{E}(b/(p+1))$ .

Соответствующий код R настолько прост, насколько это возможно

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

и это определенно намного быстрее, чем обратное разрешение pdf и accept-reject:

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163 

с удивительно идеальной посадкой:

Вы всегда можете численно решить обратное преобразование.

Ниже я делаю очень простой поиск пополам. Для заданной входной вероятности (я использую так как в вашей формуле уже есть ), я начну с и . Затем я удваиваю до пор, пока . Наконец, я итеративно пополам интервал до тех пор, пока его длина не станет меньше а его средняя точка удовлетворит .$q$$q$$p$$x_L=0$$x_R=1$$x_R$$F(x_R)>q$$[x_L,x_R]$$\epsilon$$x_M$$F(x_M)\approx q$

ECDF подходит вашему достаточно хорошо для моих вариантов и , и это достаточно быстро. Вероятно, вы могли бы ускорить это, используя некоторую оптимизацию типа Ньютона вместо простого поиска по разделению пополам.$F$$a$$b$

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

Существует несколько запутанная, если прямое решение путем принятия-отклонения. Во-первых, простое дифференцирование показывает, что pdf распределения - это Во-вторых, так как у нас есть верхняя граница третьих, учитывая второе слагаемое в , возьмем замену переменной , т. е. . Тогда является якобианом изменения переменной. Если

$$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$$ $$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$$ $$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$ $g$$\xi=x^{p+1}$$x=\xi^{1/(p+1)}$ $$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$$ $X$имеет плотность вида где - нормализующая константа, тогда имеет плотность что означает , что (я) является распределяется как экспоненциальная переменная и (ii) константа равна единице. Следовательно, оказывается равным взвешенной смеси экспоненциального распределения и -й степени экспоненциального$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$\kappa$$\Xi=X^{1/(p+1)}$ $$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$$ $\Xi$$\mathcal{E}(b/(p+1))$$\kappa$$g(x)$$\mathcal{E}(a)$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$распределение, по модулю отсутствующей мультипликативной константы для учета весов: И легко смоделировать как смесь.$2$ $$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$$ $g$

Таким образом, R-рендеринг алгоритма принятия-отклонения

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

и для n-образца:

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

Вот иллюстрация для a = 1, b = 2, p = 3: