Почему лемма Неймана-Пирсона является леммой, а не теоремой?

Это больше вопрос истории, чем технический вопрос.

Почему лемма Неймана-Пирсона является леммой, а не теоремой?

ссылка на вики: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : Вопрос не в том, что такое лемма и как леммы используются для доказательства теоремы, а в истории леммы Неймана-Пирсона. Использовалось ли это для доказательства теоремы, а потом оказалось более полезным? Есть ли какие-либо доказательства этого, помимо подозрения, что это так?

NB: Это исторически первый ответ на вопрос ОП. В статистике лемма Неймана – Пирсона была введена Ежи Нейманом и Эгоном Пирсоном в статье в 1933 году . Кроме того, он используется на практике статистиками в качестве теоремы , а не леммы, и его называют леммой в значительной степени из-за статьи 1936 года. ИМХО, историческая трактовка не отвечает на вопрос «почему», и этот пост пытается это сделать.

То, что лемма настолько контрастирует с теоремой или следствием, рассматривается в другом месте и здесь . Точнее, в отношении определения: лемма, первое значение : вспомогательная или промежуточная теорема в аргументе или доказательстве. Я согласен с оксфордским словарем, но изменил бы порядок слов и обратил внимание на точный язык: промежуточная или вспомогательная теорема. Некоторые авторы ошибочно полагают, что лемма должна быть посредником в доказательстве, и это имеет место для многих неназванных лемм. Однако обычно, по крайней мере для именованных лемм, результат леммы является импликацией, вытекающей из уже доказанной теоремы, такой, что лемма является дополнительной, т. Е. Вспомогательной теоремой. Из энциклопедии Нового Света Различие между теоремами и леммами довольно произвольно, поскольку основным результатом одного математика является второстепенное утверждение другого. Например, лемма Гаусса и лемма Цорна достаточно интересны, так что некоторые авторы представляют номинальную лемму, не используя ее в доказательстве какой-либо теоремы. Другой примером этого является Эванс лемма, которая следует не из доказательства простой теоремы дифференциальной геометрии , которая ... показывает , что первое уравнение Картанна структура является равенством два тетрады постулатов ... Тетрада постулатом [ Sic , сам по себе] является Источник леммы Эванса о дифференциальной геометрии. Википедия упоминает эволюцию лемм во времени:В некоторых случаях, когда относительная важность различных теорем становится более ясной, то, что когда-то считалось леммой, теперь считается теоремой, хотя слово «лемма» остается в названии.

Тем не менее, обратите внимание, что независимо от того, являются они леммами или нет, также являются теоремами. То есть теорема, которая является леммой, иногда может быть ответом на вопрос: «Что подразумевает (приведенная выше) теорема?» Иногда леммы являются ступенькой, используемой для установления теоремы.

Из чтения статьи 1933 года становится ясно: IX. К проблеме наиболее эффективных тестов статистических гипотез. Ежи Нейман, Эгон Шарп Пирсон и Карл Пирсон утверждают, что исследуемая теорема является теоремой Байеса . Некоторым читателям этого поста трудно связать теорему Байеса с газетой 1933 года, несмотря на довольно явное введение в этом отношении. Обратите внимание, что статья 1933 года усеяна диаграммами Венна, диаграммы Венна иллюстрируют условную вероятность , которая является теоремой Байеса. Некоторые люди называют это правилом Байеса, поскольку преувеличение называть это правило «теоремой». Например, если бы мы называли «сложение» теоремой, а не правилом, мы бы запутали, а не объяснили.

Таким образом, лемма Неймана-Пирсона является теоремой, касающейся наиболее эффективного тестирования байесовских гипотез, но в настоящее время ее так не называют, потому что она не должна была начинаться с самого начала.

Классическая версия появится в 1933 году, но самый ранний случай его существа называют «Лемма», возможно , в Нейман и Пирсона 1936 статьи Взносы в теории проверки статистических гипотез (стр. 1-37 из Статистическое исследование Мемуары Том I) , Лемма и утверждение, которое она использовалась для доказательства, были сформулированы следующим образом:

Сегодня это известно как обобщенная фундаментальная лемма Неймана-Пирсона (см. Главу 3.6 « Проверка статистических гипотез Лемана и Романо» ) и сводится к вашему повседневному Нейману-Пирсону, когда . Сама лемма была затем изучена несколькими громкими именами той эпохи (например, П. Л. Сюй, Данциг, Вальд, Чернофф, Шеффе), и название «лемма Неймана и Пирсона», таким образом, застряло.$m=1$

Вот список соответствующих статей / книг, если кто-то интересуется историей леммы Неймана-Пирсона:

• История Неймана-Пирсона: 1926-34 , Е.С. Пирсон, в научных статьях в статистике: Festschrift для Дж. Неймана .
• Введение в Неймана и Пирсона (1933). К вопросу о наиболее эффективных проверках статистических гипотез , Е.Л. Леманн, в прорывах в статистике: основы и базовая теория .
• Нейман-Из Жизни , К. Рейд.