Если

Вопрос

Если являются IID, то вычислите , где .$X_1,\cdots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$$\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right)$$T = \sum_i X_i$

---

Попытка : пожалуйста, проверьте правильность приведенного ниже.

Пусть говорят, мы возьмем сумму этих условных ожиданий такое , что

$$\begin{align} \sum_i \mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \mathbb{E}\left( \sum_i X_i \mid T \right) = T . \end{align}$$ Это означает, что каждое $\mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \frac{T}{n}$ так как$X_1,\ldots,X_n$являются IID.

Таким образом, $\mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right) = \frac{T}{n}$ . Это правильно?

Идея верна - но есть вопрос выразить ее немного более строго. Поэтому я сосредоточусь на нотации и раскрытии сути идеи.

---

Начнем с идеи взаимозаменяемости:

Случайная величина $\mathbf X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ является сменным , когда распределения переставляемых переменных $\mathbf{X}^\sigma=(X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, \ldots, X_{\sigma(n)})$ все одинаковы для каждой возможной перестановки $\sigma$ .

Очевидно, что IID подразумевает обмен.

По сути обозначений, писать $X^\sigma_i = X_{\sigma(i)}$ для $i^\text{th}$ компонент $\mathbf{X}^\sigma$ , и пусть

$$T^\sigma = \sum_{i=1}^n X^\sigma_i = \sum_{i=1}^n X_i = T.$$

Пусть $j$ - любой индекс, а $\sigma$ - любая перестановка индексов, которая отправляет $1$ в $j = \sigma(1).$ (Такой $\sigma$ существует, потому что всегда можно просто поменять местами $1$ и $j.$ ) Возможность замены $\mathbf X$ подразумевает

$$E[X_1\mid T] = E[X^\sigma_1\mid T^\sigma] = E[X_j\mid T],$$

потому что (в первом неравенстве) мы просто заменили $\mathbf X$ на одинаково распределенный вектор $\mathbf X^\sigma.$ Это суть дела.

вследствие этого

$$T = E[T \mid T] = E[\sum_{i=1}^n X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_1\mid T] = n E[X_1 \mid T],$$

откуда

$$E[X_1\mid T] = \frac{1}{n} T.$$

$\newcommand{\one}{\mathbf 1}$Это не доказательство (и +1 к ответу @ whuber), но это геометрический способ построить некоторую интуицию относительно того, почему $E(X_1 | T) = T/n$ - разумный ответ.

Пусть $X = (X_1,\dots,X_n)^T$ и $\one = (1,\dots,1)^T$ , так $T = \one^TX$ . Затем мы обусловливаем случай, когда $\one^TX = t$ для некоторого $t \in \mathbb R$ , так что это похоже на рисование многомерных гауссианов, поддерживаемых на $\mathbb R^n$ но только на тех, которые попадают в аффинное пространство $\{x \in \mathbb R^n : \one^Tx = t\}$ . Затем мы хотим узнать среднее значение$x_1$ координат точек, которые приземляются в этом аффинном пространстве (не говоря уже о том, что это подмножество с нулевой мерой).

Мы знаем

$$X \sim \mathcal N(\mu \one, I)$$ поэтому мы получили сферический гауссиан с постоянным средним вектором, а средний вектор $\mu\one$ находится на той же прямой, что и вектор нормали гиперплоскости $x^T\one = 0$ .

Это дает нам ситуацию, подобную картинке ниже:

Основная идея: сначала представьте плотность в аффинном подпространстве $H_t := \{x : x^T\one = t\}$ . Плотность $X$ симметрична относительно $x_1 = x_2$ поскольку $E(X) \in \text{span } \one$ . Плотность также будет симметричной на $H_t$ поскольку $H_t$ также симметрична относительно той же прямой, а точка, вокруг которой она симметрична, является пересечением линий $x_1 + x_2 = t$ и$x_1 = x_2$ . Это происходит для$x = (t/2, t/2)$ .

Чтобы изобразить $E(X_1 | T)$ мы можем представлять выборку снова и снова, а затем всякий раз, когда мы получаем точку в $H_t$ мы берем только координату $x_1$ и сохраняем ее. Исходя из симметрии плотности на $H_t$ распределение координат $x_1$ также будет симметричным, и оно будет иметь такую ​​же центральную точку $t/2$ . Среднее симметричного распределения является центральной точкой симметрии, так что это означает, что $E(X_1 | T) = T/2$и что $E(X_1| T) = E(X_2 | T)$ поскольку $X_1$ и $X_2$ могут быть выделены, ничего не затрагивая.

В более высоких измерениях это трудно (или невозможно) точно визуализировать, но применяется та же идея: у нас есть сферический гауссиан со средним значением в диапазоне $\one$ , и мы смотрим на аффинное подпространство, перпендикулярное этому. Точка равновесия распределения в подпространстве все еще будет пересечением $\text{span }\one$ и $\{x : x^T\one = t\}$ который находится в $x=(t/n, \dots, t/n)$ , и плотность по-прежнему симметрична таким образом, этот баланс снова является средним значением.

Опять же, это не доказательство, но я думаю, что оно дает хорошее представление о том, почему вы ожидаете такого поведения в первую очередь.

---

Помимо этого, как отметили некоторые, такие как @StubbornAtom, для этого не требуется, чтобы $X$ был гауссовским. В 2-D, обратите внимание, что если $X$ является заменяемым, то $f(x_1, x_2) = f(x_2, x_1)$ (в более общем смысле, $f(x) = f(x^\sigma)$ ), поэтому $f$ должно быть симметричным над линия $x_1 = x_2$ . У нас также есть $E(X) \in \text{span }\one$ так что все, что я сказал относительно «ключевой идеи» на первом рисунке, все еще остается верным. Вот пример, где$X_i$ взяты из модели гауссовой смеси. Все строки имеют то же значение, что и раньше.

Я думаю, что ваш ответ правильный, хотя я не совсем уверен насчет линии убийцы в вашем доказательстве, о том, что это правда, «потому что они неубедительны». Более многословный путь к тому же решению заключается в следующем:

$\mathbb{E}(x_{i}|T)$

$\mathbb{E}(x_{i}|T)$$\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{N}x_{i}$ which equals T.