Найти UMVUE из где

Пусть это случайные переменные, имеющие pdf $X_1, X_2, . . . , X_n$

$f_{X} (x ∣ θ) = θ (1 + x)^{- (1 + θ)} I_{(0, \infty)} (x)$ $f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x)$

где $\theta >0$ . Задайте UMVUE для $\frac{1}{\theta}$ и вычислите его дисперсию

Я узнал о двух таких методах для полученных UMVUE:

Нижняя граница Крамера-Рао (CRLB)
Леманн-Шеффе Терем

Я собираюсь попробовать это, используя первый из двух. Я должен признать, что я не совсем понимаю, что здесь происходит, и я основываю свои попытки решения на примере проблемы. У меня есть, что $f_X(x\mid\theta)$ - это полное однопараметрическое экспоненциальное семейство с

$h(x)=I_{(0,\infty)}$ , $c(\theta)=\theta$ , $w(\theta)=-(1+\theta)$ , $t(x)=\text{log}(1+x)$

Поскольку $w'(\theta)=1$ отлично от нуля на $\Theta$ , применяется результат CRLB. У нас есть

log f_{X} (x ∣ θ) = log (θ) - (1 + θ) \cdot log (1 + x)

$\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x)$

\frac{\partial}{\partial θ} log f_{X} (x ∣ θ) = \frac{1}{θ} - log (1 + x)

$\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x)$

\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} log f_{X} (x ∣ θ) = - \frac{1}{θ^{2}}

$\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2}$

поэтому

I_{1} (θ) = - E (- \frac{1}{θ^{2}}) = \frac{1}{θ^{2}}

$I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2}$

и CRLB для непредвзятых оценок является $\tau(\theta)$

\frac{[τ^{'} (θ)]^{2}}{n \cdot I_{1} (θ)} = \frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

Так как

\sum_{i = 1}^{n} t (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} log (1 + X_{i})

$\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

тогда любая линейная функция или, что эквивалентно, любая линейная функция , достигнет CRLB своего ожидания и, таким образом, будет UMVUE его ожидания. Поскольку мы имеем, что UMVUE равно $\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ $\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}$ $\frac{1}{\theta}$ $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

Для естественной параметризации мы можем использовать $\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1)$

затем

V a r (log (1 + X)) = \frac{d}{d η} (- \frac{1}{η + 1}) = \frac{1}{(η + 1)^{2}} = \frac{1}{θ^{2}}

$\mathsf{Var}(\text{log}(1+X))=\frac{d}{d\eta}\left(-\frac{1}{\eta+1}\right)=\frac{1}{(\eta+1)^2}=\frac{1}{\theta^2}$

Это правильное решение? Есть ли более простой подход? Этот метод работает только тогда, когда равен тому, что вы пытаетесь оценить? $\mathsf E(t(x))$

— Remy
источник

В тот момент, когда вы показали, что pdf является членом однопараметрического экспоненциального семейства, сразу становится ясно, что полной достаточной статистикой для этого семейства является Поскольку, как вы говорите, , есть UMVUE для по теореме Лемана-Шеффе.

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + X_{i})

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln(1+X_i)$

E (T / n) = \frac{1}{θ}

$E(T/n)=\frac{1}{\theta}$

T / n

$T/n$

1 / θ

$1/\theta$

— StubbornAtom

Так что та часть, где у меня есть "Так как равна нулю ..... " не имеет значения?

w^{'} (θ) = 1

$w'(\theta)=1$

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

— Реми,

На самом деле, нет; дисперсию легче найти с помощью CRLB. Таким образом, чтобы решить оба вопроса одновременно, достаточно вашего аргумента.

T

$T$

— StubbornAtom

Чтобы найти дисперсию таким образом, я бы взял ? Значит, я раньше делал это неправильно?

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2} = \frac{θ^{2}}{n} {(- \frac{1}{θ^{2}})}^{2} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2=\frac{\theta^2}{n}\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)^2=\frac{1}{n\theta^2}$

— Реми

Да, это дисперсия . Точно.

T

$T$

— StubbornAtom

Ваши рассуждения в основном верны.

Плотность соединения образца составляет $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{θ^{n}}{{(\prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i}))}^{1 + θ}} 1_{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0}, θ > 0 \\ ⟹ \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = n \ln (θ) - (1 + θ) \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) + \ln (1_{min_{1 \leq i \leq n} x_{i} > 0}) \\ ⟹ \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{n}{θ} - \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) \\ = - n (\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i})}{n} - \frac{1}{θ}) \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{\theta^n}{\left(\prod_{i=1}^n (1+x_i)\right)^{1+\theta}}\mathbf1_{x_1,x_2,\ldots,x_n>0}\qquad,\,\theta>0 \\\\\implies \ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=n\ln(\theta)-(1+\theta)\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)+\ln(\mathbf1_{\min_{1\le i\le n} x_i>0}) \\\\\implies\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i) \\\\&=-n\left(\frac{\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)}{n}-\frac{1}{\theta}\right) \end{align}$

Таким образом, мы выразили функцию оценки в виде

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k (θ) (T (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{1}{θ}) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=k(\theta)\left(T(x_1,x_2,\ldots,x_n)-\frac{1}{\theta}\right)\tag{1}$

, что является условием равенства в неравенстве Крамера-Рао.

Нетрудно проверить, что

\begin{matrix} (2) & E (T) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \underset{= 1 / θ}{\underset{⏟}{E (\ln (1 + X_{i}))}} = \frac{1}{θ} \end{matrix}

$E(T)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\underbrace{E(\ln(1+X_i))}_{=1/\theta}=\frac{1}{\theta}\tag{2}$

Из и можно сделать вывод, что $(1)$ $(2)$

Статистика является несмещенной оценкой . $T(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $1/\theta$
$T$ удовлетворяет условию равенства неравенства Крамера-Рао.

Эти два факта вместе означают, что - это UMVUE . $T$ $1/\theta$

Вторая пуля фактически говорит нам, что дисперсия достигает нижней границы Крамера-Рао для . $T$ $1/\theta$

В самом деле, как вы показали,

E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = - \frac{1}{θ^{2}}

$E_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=-\frac{1}{\theta^2}$

Это означает, что информационная функция для всей выборки имеет вид

I (θ) = - n E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = \frac{n}{θ^{2}}

$I(\theta)=-nE_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=\frac{n}{\theta^2}$

Таким образом, нижняя граница Крамера-Рао для и, следовательно, дисперсия UMVUE равна $1/\theta$

Var (T) = \frac{{[\frac{d}{d θ} (\frac{1}{θ})]}^{2}}{I (θ)} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\operatorname{Var}(T)=\frac{\left[\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\theta}\right)\right]^2}{I(\theta)}=\frac{1}{n\theta^2}$

Здесь мы воспользовались следствием неравенства Крамера-Рао, которое говорит, что для семейства распределений параметризовано (при условии выполнения условий регулярности неравенства CR), если статистика несмещена для для некоторая функция и если она удовлетворяет условию равенства в неравенстве CR, а именно: , тогда должно быть UMVUE для . Так что этот аргумент не работает в каждой проблеме. $f$ $\theta$ $T$ $g(\theta)$ $g$

\frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x) = k (θ) (T (x) - g (θ))

$\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f_{\theta}(x)=k(\theta)\left(T(x)-g(\theta)\right)$

T

$T$

g (θ)

$g(\theta)$

В качестве альтернативы, используя теорему Лемана-Шеффе, можно сказать, что - это UMVUE так как несмещен для и является полной статистикой, достаточной для семейства распределений. То, что достаточно конкурентен, ясно из структуры плотности соединения образца в терминах однопараметрического экспоненциального семейства. Но дисперсия может быть немного сложно найти напрямую. $T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(1+X_i)$ $1/\theta$ $1/\theta$ $T$ $T$

— StubbornAtom
источник

Можно также использовать распределение чтобы найти его среднее значение, дисперсию.

T

$T$

— StubbornAtom