Пусть CDF равен при целых числах кусочно-постоянных во всех остальных местах и по всем критериям является CDF. ОжиданиеF1−1/nn=1,2,…,
∫∞0(1−F(x))dx=1/2+1/3+1/4+⋯
который расходится. В этом смысле первый момент (и, следовательно, все высшие моменты) бесконечен. (См. Примечания в конце для дальнейшей разработки.)
Если вам неловко с этим обозначением, обратите внимание, что дляn=1,2,3,…,
PrF(n)=1n−1n+1.
Это определяет распределение вероятностей, поскольку каждый член является положительным иΣn = 1∞PrF( n ) = ∑n = 1∞( 1N- 1n + 1) = limn → ∞1 - 1n + 1= 1
Ожидание
Σn = 1∞NPrF( n ) = ∑n = 1∞n ( 1N- 1n + 1) = ∑n = 1∞1n + 1=1/2+1/3+1/4+⋯
который расходится.
Этот способ выражения ответа проясняет, что все решения получены такими расходящимися рядами. Действительно, если вы хотите, чтобы распределение поддерживалось на некотором подмножестве положительных значений с вероятностями равными единице, то для ожидания расхождения ряда что выражает это, а именноx1,x2,…,xn,…,p1,p2, ...
( аN) = ( хNпN) ,
должны иметь расходящиеся частичные суммы.
Наоборот, каждый расходящийся ряд неотрицательных чисел связан со многими дискретными положительными распределениями, имеющими расходящееся ожидание. ( аN) Например, учитывая вы можете применить следующий алгоритм для определения последовательностей и . Начните с установки и для Определите как набор всех , возникающих таким образом, индексируйте его элементы как и определите распределение вероятностей для по( аN)(xn)(pn)QN= 2- нYN= 2NaNn = 1 , 2 , … .ΩYNΩ = { ω1, ω2, ... , ωя, … } ,Ω
Pr ( ωя) = ∑п | уN= ωяQN,
Это работает, потому что сумма равна сумме которая равна и имеет не более чем счетное количество положительных элементов.пNqn,1,Ω
Например, ряд явно расходится. Алгоритм дает(an)=(1,1/2,1,1/2,…)
y1=2a1=2; y2=22a2=2; y3=23a3=8;…
Таким образом,Ω={2,8,32,128,…,22n+1,…}
набор нечетных положительных степеней и2p1=q1+q2=3/4; p2=q3+q4=3/16; p3=q5+q6= 3 / 64 ; ...
О бесконечных и несуществующих моментах
Когда все значения положительны, не существует такого понятия, как «неопределенный» момент: все моменты существуют, но они могут быть бесконечными в смысле расходящейся суммы (или интеграла), как показано в начале этого ответа.
Как правило, все моменты определены для положительных случайных величин, потому что сумма или интеграл, выражающие их, либо сходятся абсолютно, либо расходятся («бесконечно»). В отличие от этого, моменты могут становиться неопределенными для переменных, которые принимают положительные и отрицательные значения , потому что - по определению интеграла Лебега - момент - это разница между моментом положительной части и моментом абсолютного значения отрицательной части. Если оба они бесконечны, конвергенция не является абсолютной, и вы сталкиваетесь с проблемой вычитания бесконечности из бесконечности: этого не существует.