Пример неотрицательного дискретного распределения, где среднее (или другой момент) не существует?


20

Я немного поработал над scipy, и с одним из членов основной группы scipy зашел разговор о том, может ли неотрицательная дискретная случайная величина иметь неопределенный момент. Я думаю, что он прав, но доказательств нет. Кто-нибудь может показать / доказать это утверждение? (или если это утверждение не соответствует действительности, опровергнуть)

У меня нет удобного примера, если дискретная случайная переменная поддерживает но кажется, что некоторая дискретная версия распределения Коши должна служить примером для получения неопределенного момента. Условие неотрицательности (возможно, включая ) - это то, что, кажется, делает проблему сложной (по крайней мере, для меня). 0Z0

Ответы:


15

Пусть CDF равен при целых числах кусочно-постоянных во всех остальных местах и ​​по всем критериям является CDF. ОжиданиеF11/nn=1,2,,

0(1F(x))dx=1/2+1/3+1/4+

который расходится. В этом смысле первый момент (и, следовательно, все высшие моменты) бесконечен. (См. Примечания в конце для дальнейшей разработки.)


Если вам неловко с этим обозначением, обратите внимание, что дляn=1,2,3,,

PrF(n)=1n1n+1.

Это определяет распределение вероятностей, поскольку каждый член является положительным и

n=1PrF(n)=n=1(1n1n+1)=limn11n+1=1.

Ожидание

n=1nPrF(n)=n=1n(1n1n+1)=n=11n+1=1/2+1/3+1/4+

который расходится.

Этот способ выражения ответа проясняет, что все решения получены такими расходящимися рядами. Действительно, если вы хотите, чтобы распределение поддерживалось на некотором подмножестве положительных значений с вероятностями равными единице, то для ожидания расхождения ряда что выражает это, а именноx1,x2,,xn,,p1,p2,

(an)=(xnpn),

должны иметь расходящиеся частичные суммы.

Наоборот, каждый расходящийся ряд неотрицательных чисел связан со многими дискретными положительными распределениями, имеющими расходящееся ожидание. (an) Например, учитывая вы можете применить следующий алгоритм для определения последовательностей и . Начните с установки и для Определите как набор всех , возникающих таким образом, индексируйте его элементы как и определите распределение вероятностей для по(an)(xn)(pn)qn=2nyn=2nann=1,2,.ΩynΩ={ω1,ω2,,ωi,},Ω

Pr(ωi)=nyn=ωiqn.

Это работает, потому что сумма равна сумме которая равна и имеет не более чем счетное количество положительных элементов.pnqn,1,Ω

Например, ряд явно расходится. Алгоритм дает(an)=(1,1/2,1,1/2,)

y1=2a1=2; y2=22a2=2; y3=23a3=8;

Таким образом,

Ω={2,8,32,128,,22n+1,}

набор нечетных положительных степеней и2

p1=q1+q2=3/4; p2=q3+q4=3/16; p3=q5+q6=3/64;


О бесконечных и несуществующих моментах

Когда все значения положительны, не существует такого понятия, как «неопределенный» момент: все моменты существуют, но они могут быть бесконечными в смысле расходящейся суммы (или интеграла), как показано в начале этого ответа.

Как правило, все моменты определены для положительных случайных величин, потому что сумма или интеграл, выражающие их, либо сходятся абсолютно, либо расходятся («бесконечно»). В отличие от этого, моменты могут становиться неопределенными для переменных, которые принимают положительные и отрицательные значения , потому что - по определению интеграла Лебега - момент - это разница между моментом положительной части и моментом абсолютного значения отрицательной части. Если оба они бесконечны, конвергенция не является абсолютной, и вы сталкиваетесь с проблемой вычитания бесконечности из бесконечности: этого не существует.


Дает ли этот аргумент пример бесконечного или неопределенного момента? Я ищу неопределенный момент. Может быть, есть тонкость неопределенных и бесконечных моментов, которые мне не хватает, чтобы полностью понять ваш ответ.
Лукас Робертс

2
Когда все значения положительны, не существует такого понятия, как «неопределенный» момент: все моменты существуют, но они могут быть бесконечными.
whuber

4
Все моменты определены для положительных случайных величин. Некоторые могут быть бесконечными, вот и все. Моменты могут стать неопределенными для переменных, которые принимают положительные и отрицательные значения, потому что - по определению интеграла Лебега - момент - это разница между моментом положительной части и моментом абсолютного значения отрицательной части. Если оба они бесконечны, вы сталкиваетесь с проблемой вычитания бесконечности из бесконечности: этого не существует.
whuber

1
«Все моменты определены для положительных случайных величин. Некоторые могут быть бесконечными, вот и все». Учитывая , что название вопроса касается моментов не существующих , я думаю , что многое из этого комментария заслуживает того, чтобы быть отредактировано в ответ!
Серебряная

1
Наверное, я мог бы найти ответ, похороненный в этом посте: stats.stackexchange.com/questions/243150/…
Лукас Робертс

39

Вот известный пример: пусть принимает значение с вероятностью для каждого целого числа . Тогда принимает значения в (подмножестве) натуральных чисел; общая масса равна , но его ожидание равно Эта случайная величина возникает в петербургском парадоксе .2 k 2 - k k 1 X k = 1 2 - k = 1 E ( X ) = k = 1 2 k P ( X = 2 k ) = k = 1 1 = . ИксX2k2kk1Xk=12k=1

E(X)=k=12kP(X=2k)=k=11=.
X

6
+1 Мне нравится этот за его исторические и философские связи.
whuber

Разрешение парадокса: если вы выиграете ∞, вас сокрушат силы G.
Иисус Навин

8
  1. Дзета распределение является довольно хорошо известно дискретное распределение на положительных целых чисел , которые не имеют конечное среднее значение (для ).1<θ2

    P(X=x|θ)=1ζ(θ)xθ,x=1,2,...,θ>1

    где нормализующая константа включает в себя , дзета-функцию Риманаζ()

    (edit: случай очень похож на ответ whuber)θ=2

    Другим распределением с похожим поведением хвоста является распределение Юла-Саймона .

  2. Другим примером может быть бета-отрицательное биномиальное распределение с :0<α1

    P(X=x|α,β,r)=Γ(r+x)x!Γ(r)B(α+r,β+x)B(α,β),x=0,1,2...α,β,r>0


0

некоторая дискретизированная версия распределения Коши

Да, если вы берете в качестве среднего значения распределения Коши в интервале вокруг , то ясно, что его нулевой момент такой же, как у распределения Коши, и его первый момент асимптотически приближается к первому моменту Распределение Коши. Что касается «интервала вокруг », не имеет значения, как вы это определяете; возьмите , , , Vel Ctera , и это будет работать. Для положительных целых чисел вы также можете взять . Нулевой момент суммируется с , а первый момент - это сумма , которая расходится.n n ( n - 1 , n ] [ n , n + 1 ) [ n - .5 , np(n)nn(n1,n][n,n+1)[n.5,n+.5)p(n)=6(nπ)26nπ2

И фактически для любого многочлена существует некоторый такой, что суммируется с 1. Если мы тогда возьмем й момент, где - это порядок , это будет расходиться.c cp(n)c kkp(n)cp(n)kkp(n)

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.